取代具體的線和麵的感覺要素——這是古典界限感的一個典型特徵——代之以點的抽象的、空間的、非古典的要素，從此以後，“點”被視為是一組排列在一起的純粹數字。源自古典文本和阿拉伯傳統的量的觀念和可感知的向度觀念被摧毀殆盡，代之而起的是空間位置中可變的關係值。一般來說，我們不認為這是幾何學的替代品，仿佛從此之後，幾何學隻能是躲在古典傳統身後的一個虛構的存在。“幾何學”這個詞有著一種不能隨便擴展的阿波羅式的意義，而自笛卡兒時代開始，所謂“新幾何學”，則是由綜合和分析兩部分構成的，其中綜合的工作是針對不再必然地是三維的某個空間（它其實是“點的集合”）中點的位置而進行的，分析的工作則是通過空間中點的位置來定義數字。這樣以位置代替長度之後，便會隨之出現一種純空間的、而不再是物質性的廣延概念。
對傳統的、視覺上確定的幾何學的這種摧毀，最明晰的例證，在我看來，莫過於把角函數——在印度數學中，它便是數字（我們的心智幾乎無法理解印度人的這個詞的含義）——轉化成周期函數，由此而進入無窮的數字王國，在那裏，角函數變成了級數（series），不再留有歐幾裏得幾何圖形的絲毫跡象。在此數字王國的所有部分中，圓周率π，如同納皮爾（napier）的底數e一樣，產生了各種各樣的關係，而不復有傳統的所謂幾何、三角、代數等的分劃，這些關係本質上既非算術的，亦非幾何的，所以，不再有人夢想著實際地畫出圓弧或以圖來說明乘方。
九
相當於公元前540年左右的時候，古典心靈由畢達哥拉斯這樣的人發明了它自身所獨有的阿波羅式的數，亦即那種可以度量的量，西方心靈則由笛卡兒及其同時代的帕斯卡爾、費馬、德紮古斯（desargues）這些人而發明了一種數的概念，這一概念是狂熱嚮往無限的浮士德傾向的產物。數作為事物的物質性在場所固有的一種純粹的量，與數現今作為一種純粹的關係，正好平行而形成對照。如果我們可以把古典的“世界”，亦即宇宙秩序，視為是根基於對可見的界限的深刻需要，並因而視為是由物質性的事物所構成的總和，那我們也可以說，我們的世界圖象乃是無限空間的一種現實化，在那一空間中，一切可見的事物幾乎隻能作為低層次的、局限於不可限度的在場而出現。西方文化的象徵是其他文化所從未想到的一種觀念，那就是函數的觀念。函數決不是先前存在的任何數字觀念的一種擴展，而是對它的徹底擺脫。由於函數觀念，不僅歐幾裏得幾何學（它是兒童和門外漢所共有的屬於人的幾何學，其基礎便是日常經驗），而且阿基米德的算術，對於西歐的真正有意義的數學而言，不再有任何價值。從此之後，數學單單隻在於抽象的分析。對於古典人而言，幾何學和算術是自足的和完整的最高科學，兩者都是現象的，都隻關心可以被描畫或計數的量的大小。相反，對於我們來說，這些東西僅僅是日常生活的實際附屬品。加法和乘法是古典的兩種計算量的大小的方法，和其孿生姐妹幾何圖形一樣，它們在函數過程的無窮性中徹底地消失了。甚至像乘方，最初隻是數字地表示一組相同數值的連乘積，如今經由指數觀念（對數），以及它在複數、負數和分數形式中的應用，也已經與數量大小完全沒有了聯繫，而轉移至隻知道表示麵積和體積的兩種正整數的乘方的希臘人所難以理解的一種超越性的關係世界中了。例如，我們可以看一下這樣的表達式：
自文藝復興以來，一項又一項的重大創造接踵而至，如早在1550年卡丹（cardanus）就引入的虛數和複數；1666年經由牛頓在二項式定理上的重大發現而在理論上為其奠定了基礎的無窮級數；萊布尼茨的微分幾何和定積分；笛卡兒開啟先河的作為一種新的數字單位的“集合”理論；還有像一般積分這樣的新的運算方式；像函數向級數甚至向其他函數的無窮級數的擴展——所有這一切，都是對在我們當中流行的感覺性的數字感的一種勝利，也是新數學為了實現新的世界感而贏得的勝利。
在所有歷史中，一種文化對待另一種文化，如同我們的文化對待古典文化那樣在科學的問題上如此長久地表現出敬仰和謙遜的態度，至今還找不出第二個例子。經過了漫長的歲月，我們才有勇氣去思考我們自己獨具的思想。但是，盡管效仿古典的意圖一直都存在，可我們所作的每一步嚐試，實際上都在使我們進一步遠離想像中的理想。因此，西方知識的歷史，其實就是漸進地擺脫古典思想的歷史，這種擺脫從來不是自願的，而是在無意識的深處被迫的。因此，新數學的發展，其實就是為對抗量的觀念而進行的一場長期的、秘密的且最終獲得勝利的戰鬥。
十
這一古典化的傾向的一個結果，便是妨礙了我們去發現與我們的西方數字本身相匹配的新的記號體係。現今數學的符號語言歪曲了它的實際內涵。這主要是由於這樣一種傾向，即對作為量的數字的信念甚至在今天仍主宰著數學家的觀念，可它還能不能作為我們所有的書寫記號的基礎呢？
但是，那可用來表達函數的，並不是各自獨立的符號（例如x、、s），而是作為單位的函數本身，是作為要素的函數本身，是那再也不能從視覺上加以界定、且構成了新的數係的可變關係；這一新的數係需要有新的記號方法，後者的確立還要完全不受古典方法的影響。看一下諸如和3x+4x=5x和xn+yn=zn（費馬定理的方程式）這兩個方程式（如果這同一個詞語可以用來表達兩個不同的事物的話）之間的不同：前一方程式是由幾個古典數字——亦即量——構成的，而後一方程式則屬於一種不同的數係，隻是由於根據歐幾裏得-阿基米德的傳統，寫成了與前一方程式相同的形式，才掩蓋了它們之間的差別。在前一個方程式中，符號等於是要確立那些確定而實在的數量之間的嚴密聯繫，而在第二個方程式中，符號表示在一可變的意象領域存在著這樣一種關係：若有某些變化發生，則必然會隨之另一些變化。第一個方程式有其自身的目標，那就是通過某一具體的量的度量，便可獲得確定的東西，亦即一個“結果”，而第二個方程式，一般來說，並無結果可言，而不過是一種關係的圖象和符號表示，這關係便是（這便是著名的費馬問題）：當n＞2時，xn+yn=zn不可能有正整數解。一位希臘數學家必定會覺得這是不可理喻的，因為他無法理解此等意味著“不可解”的運算的意圖何在。
對傳統的、視覺上確定的幾何學的這種摧毀，最明晰的例證，在我看來，莫過於把角函數——在印度數學中，它便是數字（我們的心智幾乎無法理解印度人的這個詞的含義）——轉化成周期函數，由此而進入無窮的數字王國，在那裏，角函數變成了級數（series），不再留有歐幾裏得幾何圖形的絲毫跡象。在此數字王國的所有部分中，圓周率π，如同納皮爾（napier）的底數e一樣，產生了各種各樣的關係，而不復有傳統的所謂幾何、三角、代數等的分劃，這些關係本質上既非算術的，亦非幾何的，所以，不再有人夢想著實際地畫出圓弧或以圖來說明乘方。
九
相當於公元前540年左右的時候，古典心靈由畢達哥拉斯這樣的人發明了它自身所獨有的阿波羅式的數，亦即那種可以度量的量，西方心靈則由笛卡兒及其同時代的帕斯卡爾、費馬、德紮古斯（desargues）這些人而發明了一種數的概念，這一概念是狂熱嚮往無限的浮士德傾向的產物。數作為事物的物質性在場所固有的一種純粹的量，與數現今作為一種純粹的關係，正好平行而形成對照。如果我們可以把古典的“世界”，亦即宇宙秩序，視為是根基於對可見的界限的深刻需要，並因而視為是由物質性的事物所構成的總和，那我們也可以說，我們的世界圖象乃是無限空間的一種現實化，在那一空間中，一切可見的事物幾乎隻能作為低層次的、局限於不可限度的在場而出現。西方文化的象徵是其他文化所從未想到的一種觀念，那就是函數的觀念。函數決不是先前存在的任何數字觀念的一種擴展，而是對它的徹底擺脫。由於函數觀念，不僅歐幾裏得幾何學（它是兒童和門外漢所共有的屬於人的幾何學，其基礎便是日常經驗），而且阿基米德的算術，對於西歐的真正有意義的數學而言，不再有任何價值。從此之後，數學單單隻在於抽象的分析。對於古典人而言，幾何學和算術是自足的和完整的最高科學，兩者都是現象的，都隻關心可以被描畫或計數的量的大小。相反，對於我們來說，這些東西僅僅是日常生活的實際附屬品。加法和乘法是古典的兩種計算量的大小的方法，和其孿生姐妹幾何圖形一樣，它們在函數過程的無窮性中徹底地消失了。甚至像乘方，最初隻是數字地表示一組相同數值的連乘積，如今經由指數觀念（對數），以及它在複數、負數和分數形式中的應用，也已經與數量大小完全沒有了聯繫，而轉移至隻知道表示麵積和體積的兩種正整數的乘方的希臘人所難以理解的一種超越性的關係世界中了。例如，我們可以看一下這樣的表達式：
自文藝復興以來，一項又一項的重大創造接踵而至，如早在1550年卡丹（cardanus）就引入的虛數和複數；1666年經由牛頓在二項式定理上的重大發現而在理論上為其奠定了基礎的無窮級數；萊布尼茨的微分幾何和定積分；笛卡兒開啟先河的作為一種新的數字單位的“集合”理論；還有像一般積分這樣的新的運算方式；像函數向級數甚至向其他函數的無窮級數的擴展——所有這一切，都是對在我們當中流行的感覺性的數字感的一種勝利，也是新數學為了實現新的世界感而贏得的勝利。
在所有歷史中，一種文化對待另一種文化，如同我們的文化對待古典文化那樣在科學的問題上如此長久地表現出敬仰和謙遜的態度，至今還找不出第二個例子。經過了漫長的歲月，我們才有勇氣去思考我們自己獨具的思想。但是，盡管效仿古典的意圖一直都存在，可我們所作的每一步嚐試，實際上都在使我們進一步遠離想像中的理想。因此，西方知識的歷史，其實就是漸進地擺脫古典思想的歷史，這種擺脫從來不是自願的，而是在無意識的深處被迫的。因此，新數學的發展，其實就是為對抗量的觀念而進行的一場長期的、秘密的且最終獲得勝利的戰鬥。
十
這一古典化的傾向的一個結果，便是妨礙了我們去發現與我們的西方數字本身相匹配的新的記號體係。現今數學的符號語言歪曲了它的實際內涵。這主要是由於這樣一種傾向，即對作為量的數字的信念甚至在今天仍主宰著數學家的觀念，可它還能不能作為我們所有的書寫記號的基礎呢？
但是，那可用來表達函數的，並不是各自獨立的符號（例如x、、s），而是作為單位的函數本身，是作為要素的函數本身，是那再也不能從視覺上加以界定、且構成了新的數係的可變關係；這一新的數係需要有新的記號方法，後者的確立還要完全不受古典方法的影響。看一下諸如和3x+4x=5x和xn+yn=zn（費馬定理的方程式）這兩個方程式（如果這同一個詞語可以用來表達兩個不同的事物的話）之間的不同：前一方程式是由幾個古典數字——亦即量——構成的，而後一方程式則屬於一種不同的數係，隻是由於根據歐幾裏得-阿基米德的傳統，寫成了與前一方程式相同的形式，才掩蓋了它們之間的差別。在前一個方程式中，符號等於是要確立那些確定而實在的數量之間的嚴密聯繫，而在第二個方程式中，符號表示在一可變的意象領域存在著這樣一種關係：若有某些變化發生，則必然會隨之另一些變化。第一個方程式有其自身的目標，那就是通過某一具體的量的度量，便可獲得確定的東西，亦即一個“結果”，而第二個方程式，一般來說，並無結果可言，而不過是一種關係的圖象和符號表示，這關係便是（這便是著名的費馬問題）：當n＞2時，xn+yn=zn不可能有正整數解。一位希臘數學家必定會覺得這是不可理喻的，因為他無法理解此等意味著“不可解”的運算的意圖何在。