在一種強有力的數字感如此確鑿的展示中，甚至在古王國時期，在金字塔廟宇的尺度測定中，在建築、防洪工程、公共行政（更不用提曆書了）的技術中，沒有人會確然無疑地堅持認為新帝國時期的阿赫姆斯（ahmes）的毫無價值的算術代表了埃及數學的水平。澳大利亞土著在才智方麵完全屬於原始人，可他們具有一種數學本能（或者說，一種類似於數學本能的東西，一種用數字進行思維的能力，盡管還不會運用符號或文字來溝通），就其對純粹空間的闡釋而言，他們的這一本能遠遠優越於希臘人。他們所發明的回向鏢隻能歸功於他們對某一類數字——我們稱之為高等幾何——有著一種確然的感覺。因而——我們會在後麵再證明使用這個副詞的合理性——他們擁有一套極其複雜的儀式，為了表達親密的程度，他們發明了如此微妙精細的語言，甚至連高級文化本身也做不到這樣。
又一次，在歐幾裏得的數學，跟成熟的伯裏克利時代的希臘對儀式性的公共生活或孤獨感全無感覺之間，存在著一種類比，而巴羅克時代——與古典時代迥然不同——則向我們展示了一種空間分析的數學，一個凡爾賽的宮廷，以及一個依託於王朝關係的國家製度。
在數字的世界中所顯示的，正是一種心靈的風格，故而數字的世界，除了有關於它的科學之外，還包括其他一些東西。
三
由上所述，我們可以看到一個具有決定性意義的重要事實，這一事實迄今為止連數學家自己都未能洞明。
數字本身並不存在，也不可能存在。所存在的乃是多個數字世界，如同多種文化的存在一樣。我們發現的是一種印度數學思想、一種阿拉伯數學思想、一種古典數學思想、一種西方數學思想，與這每一種數學思想相對應的是一種數字類型，而每一類型根本上都是特殊的和獨一無二的，是一種特定的世界感的表現，是一種有著特定的有效性、甚至能科學地定義的象徵，是一種排列既成之物的原則，這原則反映著一種且僅僅一種心靈亦即那一特殊文化的心靈的核心本質。由此言之，世上不隻有一種數學。因為，不容置疑的是，歐幾裏得幾何學的內在結構與笛卡兒幾何學的內在結構是完全不同的，阿基米德（archimedes）的數學分析是與高斯（gauss）的數學分析完全不同的東西，不僅僅是在形式、直覺和方法上，而且本質上首要的是在他們各自提出和說明的數字的內在的和必然的意義上。這種數字，這一在其中可以使現象獲得自我解釋的視界，以及因此，這一被限定在給定範圍且服從於其特殊類別的數學的“自然”或廣延的世界的整體，並不是所有人類所共有的，而是各具特色的，各屬於一種確定的人類的。
因此，所存在的任何數學的風格整個地都依賴於它所紮根的文化，依賴於那構想它的特定人類。心靈能將其固有的可能性付諸科學的發展，能實際地控製這些可能性，能在對這些可能性的處理中達到最高的水平——但它根本無力改變這些可能性。歐幾裏得幾何學的觀念在古典裝飾的最早形式中就被實現了，微積分的觀念在哥德式建築的最早形式中就被實現了，比這各別文化第一個淵博的數學家的出生要早好幾個世紀。
一種深刻的內在經驗或者說真正醒覺的自我可以把兒童轉變成高級人，可以把他納入他的文化的共同體中，而這正是他的數字感出現的標誌，亦是他的語言感出現的標誌。隻有在這之後，客體才會對那醒覺意識存在，才會呈現為諸如數字之類的有限度的和可區分的東西；隻有在這之後，周圍世界的那些屬性、概念、因果必然性和體係，或者說世界的形式和世界定律（因為那被設定和被解決的，事實上就是被限定的、被堅固的、受數字控製的）才易於被準確地定義。並且由此，還會對測量和計算、繪圖和形式的深奧意義產生一種出乎意料的、幾乎形而上的恐懼感和敬畏感。
如今，康德已依據先天綜合判斷（普遍必然的有效性）和後天綜合判斷（經驗的和隨情形而變的）對人類知識的總體進行了分類，其中前一類知識就包括有數學知識。由此，毫無疑問，康德就可以把強烈的內心感受還原為抽象的形式。但是，康德這麽做完全偏離了這樣一個事實（在現代數學和現代力學中已被充分地證明了），就是：在這兩種判斷之間，根本不存在如此界限分明的區分，如同在先天判斷原理中根本地和無條件地示意出來的，先天本身雖則確然是哲學中的一種最具啟發性的概念，可似乎也是一個包含著許多困難的觀念。康德為它總結了兩個特性——但並沒有試圖去證明那一根本不能證明的東西——即在所有的理智活動中，它既具有形式的不可改變性，同時又具有對所有人而言形式的同一性。結果，一個具有不可估量的重要性的因素完全被忽視了——這要歸功於康德時代的理智的先入之見，更別說康德本人的了。這一因素便是那一所謂的“普遍有效性”的伸縮度（the varying degree）。真正範圍廣泛的有效性具有某些無可懷疑的特徵，這些特徵（表麵上看是在任何時候）是獨立於文化和認知個體所屬的時代的，但與這些特徵相伴隨的，必定還存在一種十分特殊的形式必然性，為認知個體的所有思想成為定理奠定基礎，而認知個體由於隻屬於他自己的文化而不屬於別的文化，故而必定會受到這一形式必然性的影響。這樣，在此我們便有了兩種完全不同的先天的思想-內容，去對它們之間的交界線作出界定，甚至於去證明存在這樣的交界線，都是一個難題，這難題超出了認識活動的所有可能性，永遠也不會得到解決。迄今為止，沒有人敢說，心智的假定的恆在結構是一個幻覺；沒有人敢說，就在我們眼前展現的歷史包含了不止一種認知風格。但是，我們不要忘記，對還沒有成為問題的事物獲得一致意見，既有可能意味著一個普遍的真理，也有可能意味著一個普遍的錯誤。確實，人類總是對疑點和模糊性有某種感覺，這種感覺是如此之普遍，以至於人們從哲學家的不一致（non-agreement）中有可能得出正確的猜測，我們每每掃視哲學史的時候都能看到這一點。但是，這種不一致並不是由於人類心智的不完善，也不是由於可以完善的知識當下的不足，一句話，這不是由於缺陷，而是由於命運和歷史必然性——這就是一個發現。對深刻的和終極的事物得出結論，不能通過設定一些恆量，而要通過研究差異，通過發掘差異的有機邏輯來達成。知識形式的比較形態學是西方思想至今仍有待攻克的一個領域。
又一次，在歐幾裏得的數學，跟成熟的伯裏克利時代的希臘對儀式性的公共生活或孤獨感全無感覺之間，存在著一種類比，而巴羅克時代——與古典時代迥然不同——則向我們展示了一種空間分析的數學，一個凡爾賽的宮廷，以及一個依託於王朝關係的國家製度。
在數字的世界中所顯示的，正是一種心靈的風格，故而數字的世界，除了有關於它的科學之外，還包括其他一些東西。
三
由上所述，我們可以看到一個具有決定性意義的重要事實，這一事實迄今為止連數學家自己都未能洞明。
數字本身並不存在，也不可能存在。所存在的乃是多個數字世界，如同多種文化的存在一樣。我們發現的是一種印度數學思想、一種阿拉伯數學思想、一種古典數學思想、一種西方數學思想，與這每一種數學思想相對應的是一種數字類型，而每一類型根本上都是特殊的和獨一無二的，是一種特定的世界感的表現，是一種有著特定的有效性、甚至能科學地定義的象徵，是一種排列既成之物的原則，這原則反映著一種且僅僅一種心靈亦即那一特殊文化的心靈的核心本質。由此言之，世上不隻有一種數學。因為，不容置疑的是，歐幾裏得幾何學的內在結構與笛卡兒幾何學的內在結構是完全不同的，阿基米德（archimedes）的數學分析是與高斯（gauss）的數學分析完全不同的東西，不僅僅是在形式、直覺和方法上，而且本質上首要的是在他們各自提出和說明的數字的內在的和必然的意義上。這種數字，這一在其中可以使現象獲得自我解釋的視界，以及因此，這一被限定在給定範圍且服從於其特殊類別的數學的“自然”或廣延的世界的整體，並不是所有人類所共有的，而是各具特色的，各屬於一種確定的人類的。
因此，所存在的任何數學的風格整個地都依賴於它所紮根的文化，依賴於那構想它的特定人類。心靈能將其固有的可能性付諸科學的發展，能實際地控製這些可能性，能在對這些可能性的處理中達到最高的水平——但它根本無力改變這些可能性。歐幾裏得幾何學的觀念在古典裝飾的最早形式中就被實現了，微積分的觀念在哥德式建築的最早形式中就被實現了，比這各別文化第一個淵博的數學家的出生要早好幾個世紀。
一種深刻的內在經驗或者說真正醒覺的自我可以把兒童轉變成高級人，可以把他納入他的文化的共同體中，而這正是他的數字感出現的標誌，亦是他的語言感出現的標誌。隻有在這之後，客體才會對那醒覺意識存在，才會呈現為諸如數字之類的有限度的和可區分的東西；隻有在這之後，周圍世界的那些屬性、概念、因果必然性和體係，或者說世界的形式和世界定律（因為那被設定和被解決的，事實上就是被限定的、被堅固的、受數字控製的）才易於被準確地定義。並且由此，還會對測量和計算、繪圖和形式的深奧意義產生一種出乎意料的、幾乎形而上的恐懼感和敬畏感。
如今，康德已依據先天綜合判斷（普遍必然的有效性）和後天綜合判斷（經驗的和隨情形而變的）對人類知識的總體進行了分類，其中前一類知識就包括有數學知識。由此，毫無疑問，康德就可以把強烈的內心感受還原為抽象的形式。但是，康德這麽做完全偏離了這樣一個事實（在現代數學和現代力學中已被充分地證明了），就是：在這兩種判斷之間，根本不存在如此界限分明的區分，如同在先天判斷原理中根本地和無條件地示意出來的，先天本身雖則確然是哲學中的一種最具啟發性的概念，可似乎也是一個包含著許多困難的觀念。康德為它總結了兩個特性——但並沒有試圖去證明那一根本不能證明的東西——即在所有的理智活動中，它既具有形式的不可改變性，同時又具有對所有人而言形式的同一性。結果，一個具有不可估量的重要性的因素完全被忽視了——這要歸功於康德時代的理智的先入之見，更別說康德本人的了。這一因素便是那一所謂的“普遍有效性”的伸縮度（the varying degree）。真正範圍廣泛的有效性具有某些無可懷疑的特徵，這些特徵（表麵上看是在任何時候）是獨立於文化和認知個體所屬的時代的，但與這些特徵相伴隨的，必定還存在一種十分特殊的形式必然性，為認知個體的所有思想成為定理奠定基礎，而認知個體由於隻屬於他自己的文化而不屬於別的文化，故而必定會受到這一形式必然性的影響。這樣，在此我們便有了兩種完全不同的先天的思想-內容，去對它們之間的交界線作出界定，甚至於去證明存在這樣的交界線，都是一個難題，這難題超出了認識活動的所有可能性，永遠也不會得到解決。迄今為止，沒有人敢說，心智的假定的恆在結構是一個幻覺；沒有人敢說，就在我們眼前展現的歷史包含了不止一種認知風格。但是，我們不要忘記，對還沒有成為問題的事物獲得一致意見，既有可能意味著一個普遍的真理，也有可能意味著一個普遍的錯誤。確實，人類總是對疑點和模糊性有某種感覺，這種感覺是如此之普遍，以至於人們從哲學家的不一致（non-agreement）中有可能得出正確的猜測，我們每每掃視哲學史的時候都能看到這一點。但是，這種不一致並不是由於人類心智的不完善，也不是由於可以完善的知識當下的不足，一句話，這不是由於缺陷，而是由於命運和歷史必然性——這就是一個發現。對深刻的和終極的事物得出結論，不能通過設定一些恆量，而要通過研究差異，通過發掘差異的有機邏輯來達成。知識形式的比較形態學是西方思想至今仍有待攻克的一個領域。