四
如果數學是像天文學或礦物學一樣的一種純粹科學，那要界定它們的對象應當是可能的。可以前從事數學研究的人並沒有、也沒有能力這麽做。我們西歐人對數字提出了自己的科學觀點，為的是完成雅典和巴格達的數學家所從事的相同的任務。但事實是，在雅典和巴格達，類似名稱的科學的主題、意圖和方法與我們自己的完全不同。根本就不存在單一的數學，而隻存在不同的數學。我們所謂的“數學史”，意指的僅僅是某個單一的、不變的理想的逐步實現，而事實上，在數學史的虛飾的表麵底下，是一大堆自足的、彼此獨立的發展的複合體，是一個不斷重複的過程，在那裏，總有新的形式世界的誕生，也有對舊的陌生的形式世界的挪用、轉變和剝離，總之，這是一個發生於每個特定時期，並要經歷從開花到成熟、從枯萎直至死亡的過程的純粹有機的故事。研究者決不可上當受騙。古典心靈的數學幾乎是從一片空無中萌生出來的；而歷史地構成的西方心靈已經擁有了古典科學（不是內在地服膺，而是經由學習外在地獲得的），因此它隻能通過對後者作明顯的改變和完善來成就自身的科學，可事實上，它還得摧毀那本質上與之疏離的歐幾裏得體係。第一種情況的代表便是畢達哥拉斯，第二種情況的代表是笛卡兒。在這兩種情況中，歸根到底，行為都是一樣的。
在這個方麵，一種數學的形式語言跟和數學同源的主要藝術的形式語言之間的關係，是毋庸置疑的。思想家的氣質與藝術家的氣質之間的差異固然很大，但各自醒覺意識的表達方法在內在的方麵可謂是同出一轍。雕刻家、畫家、作曲家的形式感，就其性質而言，本質上都是數學的。在17世紀的解析幾何和投影幾何中所體現出來的對一個無窮世界作的相同的、富有啟發的秩序化，也使同時代的音樂生氣盎然、活力瀰漫，後者正是從通奏低音的藝術中發展出可稱作音響世界的幾何學的和聲技術的；同樣地，這種對無窮世界的秩序化，也激發同時代的繪畫發展出了透視原則（這是隻有西方人才會知道的有關空間世界的知覺幾何學）。對於這一富有啟發的秩序化，歌德稱之為“在直觀領域直接地領會形式的觀念，對於這種形式，純粹科學不能領會，而隻能觀察和分割”。數學超出了觀察和分割的範圍，它在其最高級的時刻可以通過想像而不是抽象來發現自己的道路。還是歌德，曾說過一句意味深長的名言：“數學家隻有在他從自身之中感受到真實的美時，他才是完備的。”在此，我們當可感受到，數字的奧妙與藝術創作的奧妙，其關係是何等的緊密啊！也是因此，天生的數學家的位置，常常可以和賦格曲、雕刻、繪畫等領域的大師排在一起；他和他們一樣，都努力且必須努力去實現萬物的偉大秩序，給那秩序穿上象徵的外裝，使其能同下裏巴人進行交流，讓他們在自己的內心去傾聽那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；數字的王國，跟音調、線條、色彩的王國一樣，皆是世界形式的意象。正是因為這一點，“創造性”一詞在數學領域比在純粹科學領域意味著更多的東西——牛頓、高斯、黎曼（riemann）都是天生的藝術家（artist-nature），我們知道，他們的那些偉大的概念都是不經意間的神來之物。老維爾斯特拉斯（weierstrass）曾經說：“一個數學家若不同時也是一個詩人，就決不是一個真正的數學家。”
因而，數學就是一門藝術。如是言之，那它必定有自己的風格和風格期（style-periods）。它不是像門外漢和哲學家（在這個問題上，他也是門外漢）所認為的那樣實質上是不可改變的，而是像每一種藝術一樣在各個時代皆有其難以覺察的變化。當我們在處理偉大的藝術的發展時，也要（確然地而不是徒勞無功地）順便看一下同時代的數學的發展。對於音樂理論的變化與對無窮的分析之間存在的深刻關係，細節從未被人深究過，盡管美學從這些細節中所學的遠多於從所謂的“心理學”中學到的。如果寫一本樂器史，不是（如人們時常所做的那樣）從音調生產的技術角度來寫，而是根據對音色和音效的深層精神基礎的研究來寫，則可揭示更多。因為想用聲音來填滿無窮的空間，乃是一種意願，一種強烈到近乎渴望的意願，正是這種意願產生了——與古典的七弦琴和豎笛（裏拉琴、基特拉琴；奧洛斯管、敘任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同——鍵盤樂器（管風琴、鋼琴等）和弓弦樂器這兩大家族，並且早在哥特時期就已出現了。這兩大樂器家族的發展在精神上（可能也關係到技術源頭）要歸功於位於愛爾蘭、威悉河和塞納河之間的北部凱爾特-日耳曼人。管風琴和古鋼琴當然是英國人的功勞。弓弦樂器於1480至1530年間在上義大利獲得了其確定的形式，而管風琴發展成我們所知道的一種占據空間的龐然大物，一種在所有音樂史上還不曾見到相似物的樂器，這首要的是在德國。巴赫及其時代那自由的管風琴演奏若不是一種分析——對奇妙而巨大的音響世界的分析——還能是什麽。類似地，還是與西方的數字思維相一致，而與古典思維相反，我們的弦樂器和管樂器也不是單獨地而是在龐大的群體（弦樂器、木管樂器、銅管樂器）中發展的，是依據四級人聲的音域排列的；現代管弦樂隊的歷史，以及它所有新樂器的發明和老樂器的改良，事實上是一個音響世界的自足的歷史，而且這是一個完全可以用高等分析的形式加以表現的世界。
如果數學是像天文學或礦物學一樣的一種純粹科學，那要界定它們的對象應當是可能的。可以前從事數學研究的人並沒有、也沒有能力這麽做。我們西歐人對數字提出了自己的科學觀點，為的是完成雅典和巴格達的數學家所從事的相同的任務。但事實是，在雅典和巴格達，類似名稱的科學的主題、意圖和方法與我們自己的完全不同。根本就不存在單一的數學，而隻存在不同的數學。我們所謂的“數學史”，意指的僅僅是某個單一的、不變的理想的逐步實現，而事實上，在數學史的虛飾的表麵底下，是一大堆自足的、彼此獨立的發展的複合體，是一個不斷重複的過程，在那裏，總有新的形式世界的誕生，也有對舊的陌生的形式世界的挪用、轉變和剝離，總之，這是一個發生於每個特定時期，並要經歷從開花到成熟、從枯萎直至死亡的過程的純粹有機的故事。研究者決不可上當受騙。古典心靈的數學幾乎是從一片空無中萌生出來的；而歷史地構成的西方心靈已經擁有了古典科學（不是內在地服膺，而是經由學習外在地獲得的），因此它隻能通過對後者作明顯的改變和完善來成就自身的科學，可事實上，它還得摧毀那本質上與之疏離的歐幾裏得體係。第一種情況的代表便是畢達哥拉斯，第二種情況的代表是笛卡兒。在這兩種情況中，歸根到底，行為都是一樣的。
在這個方麵，一種數學的形式語言跟和數學同源的主要藝術的形式語言之間的關係，是毋庸置疑的。思想家的氣質與藝術家的氣質之間的差異固然很大，但各自醒覺意識的表達方法在內在的方麵可謂是同出一轍。雕刻家、畫家、作曲家的形式感，就其性質而言，本質上都是數學的。在17世紀的解析幾何和投影幾何中所體現出來的對一個無窮世界作的相同的、富有啟發的秩序化，也使同時代的音樂生氣盎然、活力瀰漫，後者正是從通奏低音的藝術中發展出可稱作音響世界的幾何學的和聲技術的；同樣地，這種對無窮世界的秩序化，也激發同時代的繪畫發展出了透視原則（這是隻有西方人才會知道的有關空間世界的知覺幾何學）。對於這一富有啟發的秩序化，歌德稱之為“在直觀領域直接地領會形式的觀念，對於這種形式，純粹科學不能領會，而隻能觀察和分割”。數學超出了觀察和分割的範圍，它在其最高級的時刻可以通過想像而不是抽象來發現自己的道路。還是歌德，曾說過一句意味深長的名言：“數學家隻有在他從自身之中感受到真實的美時，他才是完備的。”在此，我們當可感受到，數字的奧妙與藝術創作的奧妙，其關係是何等的緊密啊！也是因此，天生的數學家的位置，常常可以和賦格曲、雕刻、繪畫等領域的大師排在一起；他和他們一樣，都努力且必須努力去實現萬物的偉大秩序，給那秩序穿上象徵的外裝，使其能同下裏巴人進行交流，讓他們在自己的內心去傾聽那秩序，而不是富有成效地去占有那秩序；數字的王國，跟音調、線條、色彩的王國一樣，皆是世界形式的意象。正是因為這一點，“創造性”一詞在數學領域比在純粹科學領域意味著更多的東西——牛頓、高斯、黎曼（riemann）都是天生的藝術家（artist-nature），我們知道，他們的那些偉大的概念都是不經意間的神來之物。老維爾斯特拉斯（weierstrass）曾經說：“一個數學家若不同時也是一個詩人，就決不是一個真正的數學家。”
因而，數學就是一門藝術。如是言之，那它必定有自己的風格和風格期（style-periods）。它不是像門外漢和哲學家（在這個問題上，他也是門外漢）所認為的那樣實質上是不可改變的，而是像每一種藝術一樣在各個時代皆有其難以覺察的變化。當我們在處理偉大的藝術的發展時，也要（確然地而不是徒勞無功地）順便看一下同時代的數學的發展。對於音樂理論的變化與對無窮的分析之間存在的深刻關係，細節從未被人深究過，盡管美學從這些細節中所學的遠多於從所謂的“心理學”中學到的。如果寫一本樂器史，不是（如人們時常所做的那樣）從音調生產的技術角度來寫，而是根據對音色和音效的深層精神基礎的研究來寫，則可揭示更多。因為想用聲音來填滿無窮的空間，乃是一種意願，一種強烈到近乎渴望的意願，正是這種意願產生了——與古典的七弦琴和豎笛（裏拉琴、基特拉琴；奧洛斯管、敘任克斯笛）以及阿拉伯的琵琶完全不同——鍵盤樂器（管風琴、鋼琴等）和弓弦樂器這兩大家族，並且早在哥特時期就已出現了。這兩大樂器家族的發展在精神上（可能也關係到技術源頭）要歸功於位於愛爾蘭、威悉河和塞納河之間的北部凱爾特-日耳曼人。管風琴和古鋼琴當然是英國人的功勞。弓弦樂器於1480至1530年間在上義大利獲得了其確定的形式，而管風琴發展成我們所知道的一種占據空間的龐然大物，一種在所有音樂史上還不曾見到相似物的樂器，這首要的是在德國。巴赫及其時代那自由的管風琴演奏若不是一種分析——對奇妙而巨大的音響世界的分析——還能是什麽。類似地，還是與西方的數字思維相一致，而與古典思維相反，我們的弦樂器和管樂器也不是單獨地而是在龐大的群體（弦樂器、木管樂器、銅管樂器）中發展的，是依據四級人聲的音域排列的；現代管弦樂隊的歷史，以及它所有新樂器的發明和老樂器的改良，事實上是一個音響世界的自足的歷史，而且這是一個完全可以用高等分析的形式加以表現的世界。