因此，不可避免地，古典文化漸漸地成了一種注重“小”（small）的文化。其阿波羅式的心靈試圖藉助可見的界限這一原則來把捉既成之物的意義；它的禁忌集中施於直接在場的、最最接近的陌生事物上麵。至於那些玄遠的、不可見的東西，事實上都是“不存在的”。希臘人和羅馬人一樣，都把自己的熱情獻給了他賴以寄居的那個空間範圍的神靈；所有其他的神靈都是視力所不及的。恰如希臘語——我們將一次又一次提及這種語言現象強大的象徵意義——沒有用以表達空間的詞一樣，希臘人自己也缺乏我們對景觀、地平線、展望、距離、雲彩等所具有的那種感受，缺乏對廣袤無涯的、環抱著偉大的國家的國土的觀念。故土，對於古典人來說，就是他從家鄉小鎮的城堡一眼能望見的一切。所有超出這一政治原子的視力範圍之外的一切，都是陌生的，也是有敵意的；超出了那一狹窄的範圍，就會頓生恐懼，因此，由於這種不堪忍受的痛苦，那些小鎮總是相互傾軋。城邦是所有可以想像的國家形式中最小的，它的政策是直接針對小範圍的，這與我們自己的內閣外交是極度不同的，後者的政策是無限範圍的。同樣地，古典的神廟是所有第一流的建築中形製最小的，一眼便可以看盡。古典幾何學，從阿基塔斯到歐幾裏得——今日學校裏所學的幾何學，仍是以它為主導——所關心的隻是小的、可以處理的圖形和物體，因此對繪製天文維度的圖象時會產生什麽樣的困難一無所知，因為在許多情況下，歐幾裏得幾何學對於繪製天文圖象根本不適合。如果不是古典文化太局限於微小而切近的事物，則精妙的阿提卡精神，幾乎可以確定，必能解決非歐幾何的某些難題，因為它曾對著名的“平行”公理提出過批評，雖然它的懷疑很快引起了反對的意見，但並未獲得合理的闡明。這一批評實際上十分接近於非歐幾何的決定性的發現。古典心靈不加懷疑地投身於或者說把自己局限於小的和切近的東西的研究，就如同我們的心靈不加懷疑地投身於或局限於無限的和超視覺的事物的研究一樣。西方人憑自己發現的或從別人那裏借來的所有數學觀念，都自動地從屬於微分的形式語言，並且早在真正的微積分發明之前就已經這麽做了。阿拉伯的代數、印度的三角、古典的力學，事實上全在數學分析中被合併為一個東西了。甚至連初等算術中最“自明的”算式，如2×2=4，一當以數學分析來考慮，也變得有問題了，而對這些問題的解決隻有通過集合理論的演繹才是可能的，可即便如此，還是有許多難點未能解決。柏拉圖和他的時代也許會把這種東西不僅看作是錯覺，而且看作是一個全然非數學的心靈的證據。在某些情形下，幾何可以用代數的方式來處理，而代數也可以用幾何的方式來處理，這就是說，我們的眼睛可以閉上，也可以讓我們的眼睛來統領一切。我們採取的是前一種態度，而希臘人採取的是第二種態度。阿基米德在對螺線作的美妙的處理中，已經觸及到了某些一般的事實，這些事實在萊布尼茨的定積分方法中也是基礎性的；但是，阿基米德的研究，即便與近代的研究有著一切表麵的相似，也仍是從屬於測體術的原則的；同樣的情形，印度的數學家自然也可以發現某些三角公式。
十三
從古典數字與西方數字的這一根本對立中，產生出了一個同樣根本的區別，那就是要素間的關係在這兩個數字世界中的區別。在古典數學中，數量之間的聯繫被稱作比例；在西方數學中，關係之間的聯繫全包含在函數的觀點中。“比例”和“函數”這兩個詞的意義不隻局限於數學；它們在雕塑和音樂這兩個相關的藝術領域也極為重要。除了在單體雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁畫等典型的古典藝術形式，都有尺度的擴大與縮小——而在音樂中，這些詞便毫無意義——正如我們在鑽石藝術中所看到的，在那裏，主題本質上是原石料按比例的縮小。相反，在函數的領域，具有決定性的重要意義的，乃是群的轉換（transformation of groups），而音樂家也樂於承認，同樣的觀念在現代作曲理論中也具有本質的地位。我隻需提及18世紀最美妙的一種管弦樂形式——變奏曲，便足可證明這一點。
所有的比例，都是基於各要素的不變性，而所有的轉換，都是基於各要素的可變性。例如，比較一下對稱定理的不同證明：歐幾裏得對它的證明事實上有賴於一個事先假定的1:1的比率，而近代數學是通過角函數來演繹出相同的定理。
十四
古典數學整個地是一種構成（construction）（廣義上說，它包括初等算術），也就說，是某個單一的、在視覺上在場的圖形的生產。在這一可稱作第二雕刻的藝術中，圓規就是它的鑿子。而另一方麵，在函數研究中，對象不是以體量大小表現出來的結果，而是對一般的形式可能性的討論，其工作方式可最好地描述為是一種與音樂十分類似的作曲程序；並且事實上，有許許多多的觀念與音樂理論（例如音調、樂句、音階等）是交匯的，這些觀念皆可直接運用於物理學，至少可以證明，有許多關係通過這種運用可以得到說明。
十三
從古典數字與西方數字的這一根本對立中，產生出了一個同樣根本的區別，那就是要素間的關係在這兩個數字世界中的區別。在古典數學中，數量之間的聯繫被稱作比例；在西方數學中，關係之間的聯繫全包含在函數的觀點中。“比例”和“函數”這兩個詞的意義不隻局限於數學；它們在雕塑和音樂這兩個相關的藝術領域也極為重要。除了在單體雕像各部分的安排中，比例占有很重要的地位之外，雕像、浮雕、壁畫等典型的古典藝術形式，都有尺度的擴大與縮小——而在音樂中，這些詞便毫無意義——正如我們在鑽石藝術中所看到的，在那裏，主題本質上是原石料按比例的縮小。相反，在函數的領域，具有決定性的重要意義的，乃是群的轉換（transformation of groups），而音樂家也樂於承認，同樣的觀念在現代作曲理論中也具有本質的地位。我隻需提及18世紀最美妙的一種管弦樂形式——變奏曲，便足可證明這一點。
所有的比例，都是基於各要素的不變性，而所有的轉換，都是基於各要素的可變性。例如，比較一下對稱定理的不同證明：歐幾裏得對它的證明事實上有賴於一個事先假定的1:1的比率，而近代數學是通過角函數來演繹出相同的定理。
十四
古典數學整個地是一種構成（construction）（廣義上說，它包括初等算術），也就說，是某個單一的、在視覺上在場的圖形的生產。在這一可稱作第二雕刻的藝術中，圓規就是它的鑿子。而另一方麵，在函數研究中，對象不是以體量大小表現出來的結果，而是對一般的形式可能性的討論，其工作方式可最好地描述為是一種與音樂十分類似的作曲程序；並且事實上，有許許多多的觀念與音樂理論（例如音調、樂句、音階等）是交匯的，這些觀念皆可直接運用於物理學，至少可以證明，有許多關係通過這種運用可以得到說明。