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第二章 數字的意義（2）
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六
希臘數學，作為一種有關可感知的量的科學，蓄意把自己限定在可理解的當下在場的事實上，把它的研究和這些研究的有效性局限在近旁的小事物上。與這一數學無懈可擊的一致性相比較，西方數學的立場被認為實際上有點非邏輯的味道，盡管隻是自非歐幾何發現以來，這一事實才真正地被認識到。數是完全非感覺化的理解的意象，是純粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。因此，數能否確實地運用於意識經驗的現實性，這本身便是一個問題，並且是一個不斷地被重新提出而從未獲得解決的問題，而數學體係與經驗觀察之間的符合，在目前還隻能視作是自明的。盡管門外漢的觀念——例如在叔本華身上所看到的——認為數學有賴於感官的直接證據，但歐幾裏得幾何學——雖則表麵上看，其與所有時代通行的幾何學是同一的——與現象世界僅僅是近乎吻合，且是在非常狹窄的範圍內——事實上是在畫圖板的範圍內——才近乎吻合。擴大這些範圍，則——例如——歐幾裏得的平行線將會變成什麽？它們會在地平線上相交——我們一切的藝術透視就是建立在這一簡單的事實之上的。
因此，康德是一位西方思想家，他迴避了有關距離的數學，而訴諸一組數字例證，而對於它們的絕對細分，他認為尤其不能用西方的無窮小的方法來處理，他這樣做並不矛盾。但是，歐幾裏得是一位古典時代的思想家，當他禁止通過參照——比如說——由一個觀察者和兩個無窮遠的恆星所構成的三角形來證明他的公理的現象真理時，這與古典時代的精神是完全一致的。因為這些東西既不能被畫出來，又不能“直觀地領會到”，他的感受恰恰是害怕無理數的感受，是不敢給予像零這樣的虛無以一個價值（例如，說它是一個數），甚至在沉思宇宙關係時也不敢直視無窮大，而隻能固守著它的比例的象徵的感受。
薩摩斯島（samos）的阿裏斯塔庫斯在公元前288至前277年間屬於亞歷山大裏亞的天文學家圈子，這個圈子無疑與迦勒底-波斯學派有關係；阿裏斯塔庫斯曾提出了一個日心說的世界體係。經過哥白尼（copernicus）的再發現，這一日心說的體係將動搖西方人的形而上情感的基礎——喬爾丹諾·布魯諾即是明證——將成為強有力的預兆的完成，並將證明浮士德式和哥德式的世界感，這種世界感早已經通過哥德式大教堂的形式而體現了對無限的信仰。但是，阿裏斯塔庫斯當時的世界對他的著作根本漠不關心，因此很短的時間裏就被遺忘了——我們可以推測，這是故意的。他的為數不多的追隨者幾乎全都是小亞細亞的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（seleucus）（約公元前150年）來自底格裏斯河流域的波斯的塞琉西亞（seleucia）。事實上，阿裏斯塔庫斯的體係在精神上根本沒有訴求於古典文化，它其實對後者構成為一種威脅。不過，這一體係與哥白尼的體係在某個方麵有根本的不同（這一點常常被人忽視了），正是這個方麵使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一個物質上有限和視覺上可感的球狀虛空（hollow sphere）中的，在這球狀虛空的中間是行星係統，其排列和運行正如哥白尼的路線。在古典天文學中，地球和天空中的其他星體被一致地認為是兩種不同的實體，不論對其運動的具體細節的解釋是多麽的多樣。同樣地，相反的觀念認為，地球隻是眾星體中的一種，這一觀念本身與托勒密式的體係或哥白尼式的體係並非格格不入，事實上，它的真正先鋒是尼古拉·庫薩（nicus cusanus）和李奧納多·達·芬奇（leonardo da vinci）。但是，由於天球（celestial sphere）這一概念的發明，那本來可能危及感受性的古典文化的有邊界的觀點的無窮大原則便被掩蓋了。也許有人會認為，無窮大的概念是阿裏斯塔庫斯的體係所必然隱含的——而事實上，早在他的時代之前，巴比倫的思想家就已經抵達了這個概念。但希臘全無此等思想出現。相反，在阿基米德著名的有關沙粒的論文中，他證明說，用沙粒填滿一個立方體的物體（這根本上就是阿裏斯塔庫斯的宇宙），便可得到一個非常高但決不是無窮的圖象結果。他的這一命題盡管一再被引用，認為是向積分學邁出的第一步，但其本身原是對我們所謂的“分析”概念的一種否定（實際上，在論文的標題中就已經隱含了這一點）。在我們的物理學中，不斷出現的一種有關物質性的（或者說可直接感知的）以太的假設，一次又一次地與我們拒絕承認任何物質性的邊界的做法相衝突；歐多克斯、阿波羅尼烏斯（apollonius）和阿基米德當然是最敏銳、最大膽的古典數學家，他們主要用直尺和圓規，對既成之物完全地進行純視覺的分析，而其基礎，便是古典的雕塑式的邊界概念。他們運用經過深思熟慮而得出的（可對我們來說幾乎是不可理解的）求積的方法，但這些方法與萊布尼茨的定積分方法甚至隻有表麵的相似。他們也運用幾何軌跡和坐標係，但這些通常都是度量的一些被明確的長度和單位，而不是——如同在費馬（fermat）、尤其是在笛卡兒那裏——未被明確的空間關係，不是依據點在空間中的位置而定的點的價值。在所有這些方法中，還要特別地提一下阿基米德的窮竭法（exhaustion method），在最近發現的阿基米德致厄拉多塞尼（eratosthenes）的信中，他論及了用內接矩形（而不是相似的多邊形）求拋物麵的截麵積的方法。但是，這一極端精密複雜的方法，仍是基於柏拉圖的某些幾何學觀念，雖然表麵上與帕斯卡爾的方法有可類比之處，但兩者之間還是有極大的不同。其與黎曼的積分觀念也截然相異。那麽，阿基米德的這些觀念與今日所謂的求麵積法有著何樣的尖銳對立？阿基米德的方法本身，如今不過是一種不幸的殘餘，它所謂的“表麵”（surface），如今已被代之以“封閉函數”（bounding function），而它所用的描畫法（drawing），如今也已經消失。古典和西方的數學心靈彼此間從未像在此例中如此的接近過，也從未像在此例中如此明顯地顯示出這兩種心靈之間的隔閡之深，根本不可能彼此溝通。
第二章 數字的意義（2）
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六
希臘數學，作為一種有關可感知的量的科學，蓄意把自己限定在可理解的當下在場的事實上，把它的研究和這些研究的有效性局限在近旁的小事物上。與這一數學無懈可擊的一致性相比較，西方數學的立場被認為實際上有點非邏輯的味道，盡管隻是自非歐幾何發現以來，這一事實才真正地被認識到。數是完全非感覺化的理解的意象，是純粹思想的意象，其本身之中就包含有抽象的有效性。因此，數能否確實地運用於意識經驗的現實性，這本身便是一個問題，並且是一個不斷地被重新提出而從未獲得解決的問題，而數學體係與經驗觀察之間的符合，在目前還隻能視作是自明的。盡管門外漢的觀念——例如在叔本華身上所看到的——認為數學有賴於感官的直接證據，但歐幾裏得幾何學——雖則表麵上看，其與所有時代通行的幾何學是同一的——與現象世界僅僅是近乎吻合，且是在非常狹窄的範圍內——事實上是在畫圖板的範圍內——才近乎吻合。擴大這些範圍，則——例如——歐幾裏得的平行線將會變成什麽？它們會在地平線上相交——我們一切的藝術透視就是建立在這一簡單的事實之上的。
因此，康德是一位西方思想家，他迴避了有關距離的數學，而訴諸一組數字例證，而對於它們的絕對細分，他認為尤其不能用西方的無窮小的方法來處理，他這樣做並不矛盾。但是，歐幾裏得是一位古典時代的思想家，當他禁止通過參照——比如說——由一個觀察者和兩個無窮遠的恆星所構成的三角形來證明他的公理的現象真理時，這與古典時代的精神是完全一致的。因為這些東西既不能被畫出來，又不能“直觀地領會到”，他的感受恰恰是害怕無理數的感受，是不敢給予像零這樣的虛無以一個價值（例如，說它是一個數），甚至在沉思宇宙關係時也不敢直視無窮大，而隻能固守著它的比例的象徵的感受。
薩摩斯島（samos）的阿裏斯塔庫斯在公元前288至前277年間屬於亞歷山大裏亞的天文學家圈子，這個圈子無疑與迦勒底-波斯學派有關係；阿裏斯塔庫斯曾提出了一個日心說的世界體係。經過哥白尼（copernicus）的再發現，這一日心說的體係將動搖西方人的形而上情感的基礎——喬爾丹諾·布魯諾即是明證——將成為強有力的預兆的完成，並將證明浮士德式和哥德式的世界感，這種世界感早已經通過哥德式大教堂的形式而體現了對無限的信仰。但是，阿裏斯塔庫斯當時的世界對他的著作根本漠不關心，因此很短的時間裏就被遺忘了——我們可以推測，這是故意的。他的為數不多的追隨者幾乎全都是小亞細亞的本土人，其中最著名的支持者塞琉古（seleucus）（約公元前150年）來自底格裏斯河流域的波斯的塞琉西亞（seleucia）。事實上，阿裏斯塔庫斯的體係在精神上根本沒有訴求於古典文化，它其實對後者構成為一種威脅。不過，這一體係與哥白尼的體係在某個方麵有根本的不同（這一點常常被人忽視了），正是這個方麵使得前者完全符合古典的世界感，那就是：它假定，宇宙是包含在一個物質上有限和視覺上可感的球狀虛空（hollow sphere）中的，在這球狀虛空的中間是行星係統，其排列和運行正如哥白尼的路線。在古典天文學中，地球和天空中的其他星體被一致地認為是兩種不同的實體，不論對其運動的具體細節的解釋是多麽的多樣。同樣地，相反的觀念認為，地球隻是眾星體中的一種，這一觀念本身與托勒密式的體係或哥白尼式的體係並非格格不入，事實上，它的真正先鋒是尼古拉·庫薩（nicus cusanus）和李奧納多·達·芬奇（leonardo da vinci）。但是，由於天球（celestial sphere）這一概念的發明，那本來可能危及感受性的古典文化的有邊界的觀點的無窮大原則便被掩蓋了。也許有人會認為，無窮大的概念是阿裏斯塔庫斯的體係所必然隱含的——而事實上，早在他的時代之前，巴比倫的思想家就已經抵達了這個概念。但希臘全無此等思想出現。相反，在阿基米德著名的有關沙粒的論文中，他證明說，用沙粒填滿一個立方體的物體（這根本上就是阿裏斯塔庫斯的宇宙），便可得到一個非常高但決不是無窮的圖象結果。他的這一命題盡管一再被引用，認為是向積分學邁出的第一步，但其本身原是對我們所謂的“分析”概念的一種否定（實際上，在論文的標題中就已經隱含了這一點）。在我們的物理學中，不斷出現的一種有關物質性的（或者說可直接感知的）以太的假設，一次又一次地與我們拒絕承認任何物質性的邊界的做法相衝突；歐多克斯、阿波羅尼烏斯（apollonius）和阿基米德當然是最敏銳、最大膽的古典數學家，他們主要用直尺和圓規，對既成之物完全地進行純視覺的分析，而其基礎，便是古典的雕塑式的邊界概念。他們運用經過深思熟慮而得出的（可對我們來說幾乎是不可理解的）求積的方法，但這些方法與萊布尼茨的定積分方法甚至隻有表麵的相似。他們也運用幾何軌跡和坐標係，但這些通常都是度量的一些被明確的長度和單位，而不是——如同在費馬（fermat）、尤其是在笛卡兒那裏——未被明確的空間關係，不是依據點在空間中的位置而定的點的價值。在所有這些方法中，還要特別地提一下阿基米德的窮竭法（exhaustion method），在最近發現的阿基米德致厄拉多塞尼（eratosthenes）的信中，他論及了用內接矩形（而不是相似的多邊形）求拋物麵的截麵積的方法。但是，這一極端精密複雜的方法，仍是基於柏拉圖的某些幾何學觀念，雖然表麵上與帕斯卡爾的方法有可類比之處，但兩者之間還是有極大的不同。其與黎曼的積分觀念也截然相異。那麽，阿基米德的這些觀念與今日所謂的求麵積法有著何樣的尖銳對立？阿基米德的方法本身，如今不過是一種不幸的殘餘，它所謂的“表麵”（surface），如今已被代之以“封閉函數”（bounding function），而它所用的描畫法（drawing），如今也已經消失。古典和西方的數學心靈彼此間從未像在此例中如此的接近過，也從未像在此例中如此明顯地顯示出這兩種心靈之間的隔閡之深，根本不可能彼此溝通。