2、關於體積計算的劉徽定理一般地說，柱體或多麵體的體積計算較比容易解決，而圓錐、圓台之類的體積就難以求得。劉徽經過苦心思索，終於找到了一條途徑，他分別做圓錐的外切正方錐和圓台的外切正方台，結果發現：“求圓亭（圓台）之積，亦猶方冪中求圓冪，圓麵積與其外切正方形的麵積之比為π∶4，由此他推得：圓台（錐）的體積與其外切正方台（錐）的體積之比，也是π∶4。很顯然，如果知道了正方台（錐）的體積，即可求得圓台（錐）的體積。劉徽這個成果，看似簡單，實際起著繼往開來的重要作用，故有的現代數學家稱之為“劉徽定理”。在古代沒有微積分的時候，這條定理起著微積分的作用，在現代數學中仍有其價值。劉宋時祖沖之、祖暅父子繼承劉徽定理而得出更為進步的祖氏原理。在西方，直到1635年義大利數學家卡瓦列利才有了與祖氏父子類似的思想，比祖氏父子已晚了一千一百多年，比劉徽更遲了一千三百多年。
3、十進小數的應用在數學計算或實際應用中總不免出現奇零小數，在劉徽以前，一般是用分數或命名製來表示，如“一升又五分升之三”，即升。或七分八厘九毫五忽”等，在位數較少時，尚可湊合，當小數位數太多時，便很不方便，因之劉徽建立了十進分數製。他以忽為最小單位，不足忽的數，統稱之為微數，開平方不盡時，根是無限小數，這又是無限現象。他說：“微數無名者以為分子，其一退以十為分母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細，則朱冪（已經開出去的正方形麵積）雖有所棄之數（未能開出的部分），不定言之也”。用現代方法寫其方根近似值是忽。
劉徽在對奇零小數的處理上所創立的十進小數記法，在世界數學史上也是一項重要的成就，外國的同樣方法，到十四世紀才出現，比劉徽晚了千餘年。
4、改進了線性方程組的解法《九章算術》中有一章專講線性方程組問題。用一種“直除法”求解，即解方程組時把多個未知數逐步減少到一個未知數，然後反過來求出所有未知數的值。“直除法”的消元（未知數）要通過對應項係數累減的辦法來完成，比較麻煩。劉徽對“直除法”加以改進，在解二元一次方程組時，用了“互乘對減”的方法，一次消去一項，如同後來的加減消元法。劉徽雖然隻用過一次“互乘對減法”，但他知此法帶有普遍性，可以推廣到任何元數的線性方程組。劉徽還使用配分比例法解線性方程組，也是有創造性的成果。在歐洲，直到十六世紀法國數學家布丟解線性方程的方法才與《九章算術》的“直除法”相似，然而已比《九章算術》晚了一千七百多年，而且沒有劉徽改進的解法好。
5、總結和發展了重差術我國古代，將用“表”（標杆）或“矩”（刻劃以留標記）進行兩次測望的測量方法稱做“重差術”。《九章算術注》中第九章《句股》，主要講測量高、深、廣、遠問題，說明當時測量數學和測繪地圖已有相當水平。劉徽《重差》一卷所以被改稱《海島算經》就是因為其第一題是講測量海島的。“重差”之名，古已有之，劉徽對之進行了深入而具體的研究，他解釋重差的含義說：“凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差，勾股則必以重差為率，故曰：重差也”。劉徽的《海島算經》共有九個應用題，都有解法和答案。其解法都可以變成平麵三角公式，起著與三角同等的作用，可說是我國古代特有的三角法。
關於劉徽的身世，因史書失載，難以確知。《宋史》卷105《禮八》記述宋徽宗大觀三年（1109年）追封古天算家七十餘人，其中有“魏劉徽淄鄉男”。男是宋徽宗給劉徽追加的封爵，古時大臣死後常以其舊鄉追封之。曹魏時，帶“淄”的地名隻有臨淄縣（屬青州齊國），北宋時，除臨淄外，還有淄川縣（今山東壽光縣），故知劉徽是今山東淄博市至壽光縣一帶人。因魏晉史書不載劉徽生平事跡，故有的數學史家謂劉徽係布衣數學家。然劉徽在《九章算術注》中自言他曾見“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”，劉徽若是一介平民，何以能熟知京師武庫重地的古代珍物？又何以有測望海島並常為修築巨大工程而深究數學的必要？從劉注中，可以看出劉徽的學識文筆均屬上乘，如此人才，在當時仕宦，實極容易。陳壽《三國誌》對政經大事及重要人物，每多遺漏，劉徽不見於史，自不足為奇。查《隋書》卷34《經籍誌三》有《魯史欹器圖》一卷，並註明為儀同劉徽撰，隋誌於後再載劉徽撰的《九章算術十卷》和《九章重差圖一卷》時，僅註明“劉徽撰”，而不再冠以官名，這也是劉徽曾做過官的又一證據。清人姚振宗謂曹魏無“儀同”之官，因而他以為此儀同非劉徽。然據《三國誌》卷43《黃權傳》雲“景初三年（蜀延熙二年，239年）（黃）權遷車騎將軍、儀同三司”，怎能說魏無儀同之官呢？由於以上理由，我以為劉徽並非布衣學者，而曾仕於魏、晉之際。
四、張仲景和他的《傷寒論》、《金匱要略》
漢末三國，祖國醫學又有了重要發展，張仲景的醫學成就特別引人注目。
3、十進小數的應用在數學計算或實際應用中總不免出現奇零小數，在劉徽以前，一般是用分數或命名製來表示，如“一升又五分升之三”，即升。或七分八厘九毫五忽”等，在位數較少時，尚可湊合，當小數位數太多時，便很不方便，因之劉徽建立了十進分數製。他以忽為最小單位，不足忽的數，統稱之為微數，開平方不盡時，根是無限小數，這又是無限現象。他說：“微數無名者以為分子，其一退以十為分母，再退以百為母，退之彌下，其分彌細，則朱冪（已經開出去的正方形麵積）雖有所棄之數（未能開出的部分），不定言之也”。用現代方法寫其方根近似值是忽。
劉徽在對奇零小數的處理上所創立的十進小數記法，在世界數學史上也是一項重要的成就，外國的同樣方法，到十四世紀才出現，比劉徽晚了千餘年。
4、改進了線性方程組的解法《九章算術》中有一章專講線性方程組問題。用一種“直除法”求解，即解方程組時把多個未知數逐步減少到一個未知數，然後反過來求出所有未知數的值。“直除法”的消元（未知數）要通過對應項係數累減的辦法來完成，比較麻煩。劉徽對“直除法”加以改進，在解二元一次方程組時，用了“互乘對減”的方法，一次消去一項，如同後來的加減消元法。劉徽雖然隻用過一次“互乘對減法”，但他知此法帶有普遍性，可以推廣到任何元數的線性方程組。劉徽還使用配分比例法解線性方程組，也是有創造性的成果。在歐洲，直到十六世紀法國數學家布丟解線性方程的方法才與《九章算術》的“直除法”相似，然而已比《九章算術》晚了一千七百多年，而且沒有劉徽改進的解法好。
5、總結和發展了重差術我國古代，將用“表”（標杆）或“矩”（刻劃以留標記）進行兩次測望的測量方法稱做“重差術”。《九章算術注》中第九章《句股》，主要講測量高、深、廣、遠問題，說明當時測量數學和測繪地圖已有相當水平。劉徽《重差》一卷所以被改稱《海島算經》就是因為其第一題是講測量海島的。“重差”之名，古已有之，劉徽對之進行了深入而具體的研究，他解釋重差的含義說：“凡望極高，測絕深，而兼知其遠者，必用重差，勾股則必以重差為率，故曰：重差也”。劉徽的《海島算經》共有九個應用題，都有解法和答案。其解法都可以變成平麵三角公式，起著與三角同等的作用，可說是我國古代特有的三角法。
關於劉徽的身世，因史書失載，難以確知。《宋史》卷105《禮八》記述宋徽宗大觀三年（1109年）追封古天算家七十餘人，其中有“魏劉徽淄鄉男”。男是宋徽宗給劉徽追加的封爵，古時大臣死後常以其舊鄉追封之。曹魏時，帶“淄”的地名隻有臨淄縣（屬青州齊國），北宋時，除臨淄外，還有淄川縣（今山東壽光縣），故知劉徽是今山東淄博市至壽光縣一帶人。因魏晉史書不載劉徽生平事跡，故有的數學史家謂劉徽係布衣數學家。然劉徽在《九章算術注》中自言他曾見“晉武庫中有漢時王莽所作銅斛”，劉徽若是一介平民，何以能熟知京師武庫重地的古代珍物？又何以有測望海島並常為修築巨大工程而深究數學的必要？從劉注中，可以看出劉徽的學識文筆均屬上乘，如此人才，在當時仕宦，實極容易。陳壽《三國誌》對政經大事及重要人物，每多遺漏，劉徽不見於史，自不足為奇。查《隋書》卷34《經籍誌三》有《魯史欹器圖》一卷，並註明為儀同劉徽撰，隋誌於後再載劉徽撰的《九章算術十卷》和《九章重差圖一卷》時，僅註明“劉徽撰”，而不再冠以官名，這也是劉徽曾做過官的又一證據。清人姚振宗謂曹魏無“儀同”之官，因而他以為此儀同非劉徽。然據《三國誌》卷43《黃權傳》雲“景初三年（蜀延熙二年，239年）（黃）權遷車騎將軍、儀同三司”，怎能說魏無儀同之官呢？由於以上理由，我以為劉徽並非布衣學者，而曾仕於魏、晉之際。
四、張仲景和他的《傷寒論》、《金匱要略》
漢末三國，祖國醫學又有了重要發展，張仲景的醫學成就特別引人注目。