簡單命題與複合命題
邏輯思維簡易入門（原書第2版） 作者：加裏·西伊 / 蘇珊娜·努切泰利 投票推薦 加入書簽 留言反饋
至少包含一個聯結詞的命題是複合命題；否則，它是簡單命題。請考慮如下例子：
例11-7 席琳·迪翁是一名歌手，羅素·克洛是一名演員。
這是一個複合命題，它是如下兩個簡單命題的合取：
例11-8 席琳·迪翁是一名歌手。
例11-9 羅素·克洛是一名演員。
合取是5個聯結詞之一。其他4個分別是否定、析取、實質蘊涵和實質等值。對於每個聯結詞，我們引入一個符號，並且給出一條真值規則。其中，真值規則用於確定由特定聯結詞構造而成的複合命題的真值。因為與每個聯結詞相聯係的真值規則定義了該聯結詞，所以每個聯結詞都是“真值函項聯結詞”。不過，在多數時候，我們將它們簡稱為“聯結詞”，見表11-1。
在討論每個聯結詞之前，請注意，通常隻有一個聯結詞管轄一個複合命題，稱之為“主聯結詞”。我們通過識別主聯結詞來確定一個給定的命題屬於哪類複合命題：合取命題、否定命題、析取命題等。顯然，當一個命題包含多個聯結詞時，確定哪個聯結詞是主聯結詞很重要。
否定
否定是一個真值函項聯結詞，它一般被表達為 “並非”（即英文“not”），用波浪形符號“～”表示。否定能夠影響一個命題自身。即便如此，在習慣上我們也把它當作一個“聯結詞”。在日常語言中，否定可以出現在一個陳述的任意部分。當一個否定加在一個簡單命題上的時候，這個命題就成為一個複合命題。請考慮如下例子：
例11-10 羅素·克洛不是一名演員。
例11-10a ～c
在這裏，通過添加一個否定，簡單命題 “羅素·克洛是一名演員”變成了複合命題。在例11-10a中，我們用波浪形表達一個否定，用c代表被它影響的那個簡單命題。
被否定影響的命題自身也可以是複合命題。例如：
例11-11 並非火星和木星都有水。
例11-12 並非瑪麗不在圖書館。
為了表達否定的命題，否定符號通常位於被否定的東西之前。例11-12是“瑪麗不在圖書館”的否定，而“瑪麗不在圖書館”本身也是一個否定。這樣，我們就有了一個雙重否定：對本身是一個否定命題的否定。雙重否定可以用命題公式表示為：
例11-12a ～～l
因為兩個否定互相抵消，所以例11-12a在邏輯上等價於：
例11-12b l
任意包含否定的命題或者命題公式都是複合命題。如下“真值規則”定義了否定。它們也可以用於確定包含否定的命題（或命題公式）的真值。
一個否定命題為真，如果被否定的命題為假。
一個否定命題為假，如果被否定的命題為真。
當一個命題是另一個命題的邏輯否定的時候，這兩個命題不具有相同的真值：當“p”為真時，“～p”為假；當“～p”為真時，“p”為假。例如，上述命題例11-11（即“火星和木星都有水”的否定）為真，而“火星和木星都有水”為假。在如下的例子中，例11-14不是例11-13的否定，因為這兩個命題都為假。
例11-13 所有牙齒矯正醫生都是高個子。
例11-14 沒有牙齒矯正醫生是高個子。
現在，請考慮如下命題：
例11-15 有些牙齒矯正醫生不是高個子。
例11-16 有些牙齒矯正醫生是高個子。
例11-15是例11-13的否定，而例11-16是例11-14的否定。在這裏每一對命題均不可能有相同的真值。不過，邏輯上等價的命題會有相同的真值。例如，如果例11-17為真，那麽例11-18也為真。
例11-17 林肯被暗殺了。
例11-18 並非林肯沒有被暗殺。
例11-18是一種雙重否定，即它是“林肯沒有被暗殺”的否定。
注意，以“……不是真的”、“……是假的”、“……從來沒有發生過”等形式表達的命題通常是一種否定，正如在英語中包含 “in-”、“un-”和“non-”等前綴的命題一樣。例如：
例11-19 我的選舉權是不可剝奪的（inalienable）。
在這裏，“不可剝奪的”（inalienable）意味著“不是可剝奪的”（not alienable）。例11-19在邏輯上等價於：
例11-19a 我的選舉權不是可剝奪的。
同樣，因為“未婚”（unmarried）意味著“沒有結婚”（not married），所以例11-20與例11-20a在邏輯上也是等價的：
例11-20 康多莉紮·賴斯是未婚的。
例11-20a 並非康多莉紮·賴斯是結了婚的。
但是，例11-21不是一個否定：
例11-21 未婚夫婦也有獲獎資格。
在這裏，“未婚的”（unmarried）並不是用來否定整個命題的。它隻影響“結婚的”（married）這個詞。
最後要注意，盡管在英語中像“miss”、“vite”、“fail”等詞語都有否定的意思，但它們不被用來表達否定。
合取
合取是一個真值函項聯結詞，可以用自然語言表達為“並且”，用符號表示為“·”。相應複合命題稱為“合取命題”。合取通常放在兩個命題之間，這兩個命題都被稱為“合取支”。合取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個複合命題。接下來，我們來考察一些由簡單命題經過合取而構成的複合命題。
例11-22 珠穆朗瑪峰（everest）在中國西藏，勃朗峰（nc）在法國。
例11-23 火星（mars）和木星（jupiter）都有水。
它們可以用符號表達為：
例11-22a e · b
例11-23a m · j
回憶前麵的例11-11：
例11-11 並非火星和木星都有水。
表達該命題的公式是例11-11a，它用圓括號表明m和j都在否定的轄域內。
例11-11a ～（m · j）
關於圓括號和其他標點符號的使用，我們將在後麵做更多闡述。現在，讓我們考慮為什麽合取是一個真值函項聯結詞。這是因為，對於一個合取命題，隻要給定其合取支的真值，依據如下規則，就可以確定該合取命題的真值。
一個合取命題為真，當且僅當它的合取支都為真；否則，一個合取命題為假。
例11-22為真，因為它的兩個合取支事實上都為真。但是，如果一個合取支為真而另一個為假，或者兩個都為假，那麽相應的合取命題就為假。對於例11-23，因為我們知道它的兩個合取支都為假，所以該命題為假。同樣，下列命題也為假：
例11-24 珠穆朗瑪峰在中國西藏，但勃朗峰不在法國。
例11-25 珠穆朗瑪峰不在中國西藏，勃朗峰不在法國。
因為勃朗峰在法國，所以例11-24的第二個合取支為假，這使得該合取命題為假。因此，在一個合取命題中，“假”類似於傳染病，隻要存在於一處，整個複合體就會被破壞。在例11-25中，兩個合取支都為假，因為它們都是一個真命題的否定。上述兩個命題可以用符號表示為：
例11-24a e ·～b
例11-25a ～e ·～b
另外，需要注意的是，像例11-23一樣，在日常語言中許多合取命題都是采用縮寫的形式。例如：
例11-26 羅特韋爾犬和多伯曼犬都是凶猛的狗。
上述命題在邏輯上等價於：
例11-27 羅特韋爾犬是凶猛的狗，並且多伯曼犬也是凶猛的狗。
然而，例11-28不是一個由兩個簡單命題組成的合取命題的簡寫，而是另一個簡單命題，用於描述兩種狗之間的一種特定的關係。
例11-28 羅特韋爾犬和多伯曼犬正在互相發出吠聲。
此外，還需注意的是，作為一個真值函項聯結詞，合取滿足交換律，即合取支的次序不影響相應複合命題的真值。假設例11-26為真，那麽依據相關事實，“多伯曼犬是凶猛的狗，並且羅特韋爾犬也是凶猛的狗”為真，例11-27也為真。然而，對於這一點，我們也得小心，因為有時次序需要被考慮。不過，在這種情況下合取就不是一個真值聯結詞了，例如：
例11-29 他脫了鞋，上了床鋪。
當例11-29和例11-30均為真時，所對應的事實並不完全相同：
例11-30 他上了床鋪，脫下鞋。
在這些非真值函項合取命題中，事件的次序（即合取支的次序）的確有影響。我們再觀察如下兩個例子：
例11-31 他看見她並且說“你好”。
例11-32 他說“你好”並且看見她。
最後，除了“並且”（and）之外，自然語言中還有很多表達合取的詞，包括“但是”（but）、“然而”（however、nevertheless、yet）、“也”（also）、“另外”（moreover）、“而”（while）、“即使”（even though）和“盡管”（although）等。
析取
析取也是一個滿足交換律的聯結詞，可以用自然語言表達為“或者”，用符號表示為“v”。相應的複合命題稱為“析取命題”。在表達一個析取命題的時候，聯結詞通常放在兩個命題之間，這兩個命題都稱為“析取支”。析取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個複合命題。下麵是兩個析取命題（分別用自然語言和符號表示）：
例11-33 羅馬在意大利（italy），或者羅馬在芬蘭（find）。
例11-33a i v f
例11-34 羅馬不在意大利，或者巴黎不在法國（france）。
例11-34a ～i v～f
例11-33和例11-34都是析取命題，因此都是複合命題。析取是一個真值聯結詞，因為對於一個析取命題，隻要給定其析取支的真值，依據如下規則，就可以確定該析取命題的真值。
一個析取命題為假，當且僅當它的析取支都為假；否則，一個析取命題為真。
依據上述規則，一個析取命題為真，該命題中至少有一個析取支為真。由此可知，例11-33為真，而例11-34為假。例11-35也是假的，因為它的兩個析取支（均為複合命題）都為假。
例11-35 或者雪地（snow）防滑輪胎在熱帶是有用的並且空調（air conditioners）在冰島是流行的，或者企鵝（penguins）並非在寒冷中茁壯成長。
例11-35a （s · a） v ～p
顯然，合取命題（s · a）為假，因為它的兩個合取支都為假；同時，～p為假，因為它是p的否定，而p為真。因為例11-35的兩個析取支都為假，依據析取的真值規則，可知例11-35為假。
除了“或者”（or）之外，析取還可以由其他自然語言來表示，如“要麽……要麽……”和“除非”等。有時，析取被嵌入到否定中（例如“既不……也不……”）。這時，否定是主聯結詞。對於上述這些情況，請看如下例子：
例11-36 她是該課程的主講教師，除非課程表錯了。
例11-36a 要麽她是該課程的主講教師，要麽課程表錯了。
例11-37是例11-37a的縮略表達：
例11-37 中央情報局和聯邦調查局都不容忍恐怖分子。
例11-37a 既非中央情報局容忍恐怖分子，也非聯邦調查局容忍恐怖分子。
因為“既不……也不……”通常用於表達一個析取的否定，所以例11-37在邏輯上等價於：
例11-38 並非“要麽中央情報局容忍恐怖分子，要麽聯邦調查局容忍恐怖分子”。
因此，例11- 37和例11-38都可以被符號化為一個析取的否定：
例11-38a ～（c v f）
注意，這裏的主聯結詞是否定，不是析取。另外，例11-37和例11-38在邏輯上等值於例11-39。
例11-39 中央情報局不容忍恐怖分子，聯邦調查局也不容忍恐怖分子。
例11-39a ～c···～f
最後，一個真值函項析取是相容的，當兩個析取支可能都為真；或者是不相容的，當隻有其中之一可能為真。本書著重討論相容析取，其真值規則已在前麵給出。
實質條件
實質條件式是一種複合命題，又稱為“實質蘊涵式”或“條件式”。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為“如果……那麽……”，或用符號表示為“n”。例如：
例11-40 如果瑪麗亞是執業律師，那麽她已經通過了律師資格考試。
一個條件式由兩部分構成：放在“如果”後麵的是它的前件，而放在“那麽”後麵的是它的後件。
實質條件是一個真值函項聯結詞，因為對於由它所產生的複合命題，隻要給定其前件和後件的真值，依據如下規則，就可以確定該複合命題的真值。
一個實質條件式為假，當且僅當它的前件為真並且後件為假；否則，它為真。
因此，任意具有真後件的條件式為真，而任意具有假前件的條件式為真。
實質條件式中的兩個命題既可以是簡單命題，也可以是複合命題。它們代表一個假說關係，其中前件和後件都不是被獨立地斷定的。例11-40斷定瑪麗亞是執業律師嗎？不是。斷定她已經通過了律師資格考試了嗎？也不是。相反，在任意條件式“如果p那麽q”中，p和q代表這樣一種假說關係，使得p為真蘊含著q也為真。為了質疑一個條件式，我們必須表明其前件為真並且後件為假。
注意，有時用於引出一個條件句後件的“那麽”可以被省略。另外，除“如果……那麽……”之外，自然語言的其他表述也可以用於引入條件句的前件或後件。這些表述可以出現在一個語句的後件之前、前件之前，或者它們二者之前。在下麵的例子中，由雙下劃線標記的是前件，由單下劃線標記的是後件：
瑪麗亞已經通過了律師資格考試，隻要她是執業律師。
假定瑪麗亞是執業律師，則她已經通過了律師資格考試。
在假設瑪麗亞是執業律師的情況下，她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，隻有當她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，蘊含著她已經通過了律師資格考試。
現在我們把上述條件式用符號語言來表達。用“m·”代表“瑪麗亞是執業律師”，“e·”代表“她已經通過了律師資格考試”。如下公式表達了任何以“m·”為前件、以“e·”為後件的命題。它把“m·”放在最前麵，然後是馬蹄形符號，最後麵是“e·”：
例11-40a m n e
在形式化的過程中，我們遵循的規則是：
為了用符號語言來表達一個條件式，我們必須先列出它的前件，後列出它的後件，無論在自然語言句子中這兩部分以何種順序出現。
依據如下術語，我們把下麵的自然語言條件句翻譯為用符號語言表示的條件式：
n = 美國是一個超級大國。
i = 中國是一個超級大國。
c = 中國在其他國家有代理機構。
o = 美國在其他國家有代理機構。
例11-41 如果中國是一個超級大國，那麽中國和美國在其他國家都有代理機構。
例11-41a i n （c · o）
例11-42 並非“如果美國在其他國家有代理機構，那麽它是一個超級大國”。
例11-42a ～ （o n n）
例11-43 中國在其他國家有代理機構，隻要美國和中國都是超級大國。
例11-43a （n · i） n c
例11-44 如果美國在其他國家沒有代理機構，那麽它就不是一個超級大國。
例11-44a ～o n ～n
例11-45 中國在其他國家有代理機構，蘊含著：或者它是一個超級大國，或者美國不是一個超級大國。
例11-45a c n （i v ～n）
例11-46 如果“或者美國在其他國家有代理機構，或者中國在其他國家有代理機構”，那麽美國和中國都不是超級大國。
例11-46a （o v c） n ～ （n v i）
例11-47 如果美國不是一個超級大國，那麽它“或者在其他國家有代理機構，或者在其他國家沒有代理機構”。
例11-47a ～n n （o v ～o）
注意，“p除非q”也可以被表達為“如果並非p那麽q”。因此，“美國是聯合國的一個成員，除非美國拒斥聯合國憲章”，等價於“如果美國不是聯合國的一個成員，那麽美國拒斥聯合國憲章”。
充分條件和必要條件。在任意實質條件式中，前件是後件的充分條件，而後件是前件的必要條件。因此，“如果p那麽q”的另外一種方式是：p對q是充分的，而q對p是必要的。某個命題p為真的一個必要條件是指事情的某種狀態：若沒有它，則p不可能為真；但若僅僅依靠它自身，則並不足以使p為真。在例11-40中，“瑪麗亞已經通過了律師資格考試”是“她是一名執業律師”的必要條件（如果她沒有通過律師資格考試，那麽她不可能是一名執業律師，盡管僅僅通過律師資格考試並不能保證她是一名執業律師）。某個命題q為真的一個充分條件是指事情的某種狀態：僅僅依靠它自身就足以使q為真，但它並不是使q為真的唯一途徑。在例11-40中，“瑪麗亞是一名執業律師”是“她已經通過了律師資格考試”的充分條件（意思是前者保證了後者）。
在一個實質條件式中：
後件是前件為真的必要（但不是充分）條件。
前件是後件為真的充分（但不是必要）條件。
實質雙條件
一個實質雙條件式是一種複合命題，又稱“實質等值式”，或簡稱“雙條件式”。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為“當且僅當”，或用符號表示為“≡”。雙條件也可以用自然語言表示為其他形式，如：“恰好在……情況下”（just in case）、“等值於”（is equivalent to）、“當並且隻有當……的時候”（when and only when）等，或者縮寫作“iff”。一個雙條件式的兩個部分既可以是簡單命題，也可以是複合命題。下麵是一個由簡單命題構成的雙條件式，分別用自然語言和符號來表示：
例11-48 班克斯特博士是這所學院的校長，當且僅當她是該學院的首席執行官。
例11-48a b ≡ o
對於由雙條件式所產生的複合命題，它的真值取決於組成部分的真值，相應的真值規則如下：
一個實質雙條件式為真，當它的組成部分有相同的真值時成立，即它們要麽都為真、要麽都為假；否則，一個雙條件式為假。
給定上述規則，為了使得一個雙條件命題為真，組成它的命題必須具有相同的真值，即要麽兩者都為真、要麽兩者都為假。當一個雙條件式的構成部分具有不同的真值時，該雙條件式為假。例11-49～例11-51均為假，因為它們中的任何一個都描述了兩個具有不同真值的命題。
例11-49 喜馬拉雅山是一座山脈，當且僅當羅馬教皇是英國聖公會的領袖。
例11-50 倫敦在英格蘭，當且僅當波士頓在波斯尼亞。
例11-51 鸚鵡是哺乳動物，當且僅當貓是哺乳動物。
相反，以下雙條件式都為真，因為在各種情況下其組成部分都有相同的真值：
例11-52 林肯是被刺殺的，當且僅當肯尼迪是被刺殺的。
例11-53 北京是法國首都，當且僅當比爾·蓋茨是貧窮的。
例11-54 “櫟樹是樹木”與“老虎是貓科動物”在邏輯上是等值的。
在任意雙條件式中，每個組成部分既是另一部分的必要條件，也是它的充分條件。因此，在例11-48中，“班克斯特是該學院的首席執行官”既是“她是這所學院的校長”的必要條件，也是它的一個充分條件。“她是這所學院的校長”既是“她是該學院的首席執行官”的必要條件，也是它的充分條件。因此，一個雙條件式可以被理解為兩個條件式的合取。這樣，我們可以把例11-52表達為這兩種情況中的任意一種：
例11-52a l ≡ k
例11-52b （l n k） · （k n l）
例11-52b是兩個條件式的合取，其前件與後件互相蘊含。這就是為什麽我們把實質等值關係叫作“雙條件式”的原因。顯然，該聯結詞滿足交換律。
專欄11-1 小結：複合命題
受一個真值函項聯結詞影響的任何命題都是複合命題；否則，它是一個簡單命題。
一個複合命題的真值由如下兩個因素確定：
（1）它的組成部分的真值；
（2）與該命題中各個聯結詞相關的真值規則。
否定是唯一一個能夠影響單一命題的聯結詞。
例11-7 席琳·迪翁是一名歌手，羅素·克洛是一名演員。
這是一個複合命題，它是如下兩個簡單命題的合取：
例11-8 席琳·迪翁是一名歌手。
例11-9 羅素·克洛是一名演員。
合取是5個聯結詞之一。其他4個分別是否定、析取、實質蘊涵和實質等值。對於每個聯結詞，我們引入一個符號，並且給出一條真值規則。其中，真值規則用於確定由特定聯結詞構造而成的複合命題的真值。因為與每個聯結詞相聯係的真值規則定義了該聯結詞，所以每個聯結詞都是“真值函項聯結詞”。不過，在多數時候，我們將它們簡稱為“聯結詞”，見表11-1。
在討論每個聯結詞之前，請注意，通常隻有一個聯結詞管轄一個複合命題，稱之為“主聯結詞”。我們通過識別主聯結詞來確定一個給定的命題屬於哪類複合命題：合取命題、否定命題、析取命題等。顯然，當一個命題包含多個聯結詞時，確定哪個聯結詞是主聯結詞很重要。
否定
否定是一個真值函項聯結詞，它一般被表達為 “並非”（即英文“not”），用波浪形符號“～”表示。否定能夠影響一個命題自身。即便如此，在習慣上我們也把它當作一個“聯結詞”。在日常語言中，否定可以出現在一個陳述的任意部分。當一個否定加在一個簡單命題上的時候，這個命題就成為一個複合命題。請考慮如下例子：
例11-10 羅素·克洛不是一名演員。
例11-10a ～c
在這裏，通過添加一個否定，簡單命題 “羅素·克洛是一名演員”變成了複合命題。在例11-10a中，我們用波浪形表達一個否定，用c代表被它影響的那個簡單命題。
被否定影響的命題自身也可以是複合命題。例如：
例11-11 並非火星和木星都有水。
例11-12 並非瑪麗不在圖書館。
為了表達否定的命題，否定符號通常位於被否定的東西之前。例11-12是“瑪麗不在圖書館”的否定，而“瑪麗不在圖書館”本身也是一個否定。這樣，我們就有了一個雙重否定：對本身是一個否定命題的否定。雙重否定可以用命題公式表示為：
例11-12a ～～l
因為兩個否定互相抵消，所以例11-12a在邏輯上等價於：
例11-12b l
任意包含否定的命題或者命題公式都是複合命題。如下“真值規則”定義了否定。它們也可以用於確定包含否定的命題（或命題公式）的真值。
一個否定命題為真，如果被否定的命題為假。
一個否定命題為假，如果被否定的命題為真。
當一個命題是另一個命題的邏輯否定的時候，這兩個命題不具有相同的真值：當“p”為真時，“～p”為假；當“～p”為真時，“p”為假。例如，上述命題例11-11（即“火星和木星都有水”的否定）為真，而“火星和木星都有水”為假。在如下的例子中，例11-14不是例11-13的否定，因為這兩個命題都為假。
例11-13 所有牙齒矯正醫生都是高個子。
例11-14 沒有牙齒矯正醫生是高個子。
現在，請考慮如下命題：
例11-15 有些牙齒矯正醫生不是高個子。
例11-16 有些牙齒矯正醫生是高個子。
例11-15是例11-13的否定，而例11-16是例11-14的否定。在這裏每一對命題均不可能有相同的真值。不過，邏輯上等價的命題會有相同的真值。例如，如果例11-17為真，那麽例11-18也為真。
例11-17 林肯被暗殺了。
例11-18 並非林肯沒有被暗殺。
例11-18是一種雙重否定，即它是“林肯沒有被暗殺”的否定。
注意，以“……不是真的”、“……是假的”、“……從來沒有發生過”等形式表達的命題通常是一種否定，正如在英語中包含 “in-”、“un-”和“non-”等前綴的命題一樣。例如：
例11-19 我的選舉權是不可剝奪的（inalienable）。
在這裏，“不可剝奪的”（inalienable）意味著“不是可剝奪的”（not alienable）。例11-19在邏輯上等價於：
例11-19a 我的選舉權不是可剝奪的。
同樣，因為“未婚”（unmarried）意味著“沒有結婚”（not married），所以例11-20與例11-20a在邏輯上也是等價的：
例11-20 康多莉紮·賴斯是未婚的。
例11-20a 並非康多莉紮·賴斯是結了婚的。
但是，例11-21不是一個否定：
例11-21 未婚夫婦也有獲獎資格。
在這裏，“未婚的”（unmarried）並不是用來否定整個命題的。它隻影響“結婚的”（married）這個詞。
最後要注意，盡管在英語中像“miss”、“vite”、“fail”等詞語都有否定的意思，但它們不被用來表達否定。
合取
合取是一個真值函項聯結詞，可以用自然語言表達為“並且”，用符號表示為“·”。相應複合命題稱為“合取命題”。合取通常放在兩個命題之間，這兩個命題都被稱為“合取支”。合取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個複合命題。接下來，我們來考察一些由簡單命題經過合取而構成的複合命題。
例11-22 珠穆朗瑪峰（everest）在中國西藏，勃朗峰（nc）在法國。
例11-23 火星（mars）和木星（jupiter）都有水。
它們可以用符號表達為：
例11-22a e · b
例11-23a m · j
回憶前麵的例11-11：
例11-11 並非火星和木星都有水。
表達該命題的公式是例11-11a，它用圓括號表明m和j都在否定的轄域內。
例11-11a ～（m · j）
關於圓括號和其他標點符號的使用，我們將在後麵做更多闡述。現在，讓我們考慮為什麽合取是一個真值函項聯結詞。這是因為，對於一個合取命題，隻要給定其合取支的真值，依據如下規則，就可以確定該合取命題的真值。
一個合取命題為真，當且僅當它的合取支都為真；否則，一個合取命題為假。
例11-22為真，因為它的兩個合取支事實上都為真。但是，如果一個合取支為真而另一個為假，或者兩個都為假，那麽相應的合取命題就為假。對於例11-23，因為我們知道它的兩個合取支都為假，所以該命題為假。同樣，下列命題也為假：
例11-24 珠穆朗瑪峰在中國西藏，但勃朗峰不在法國。
例11-25 珠穆朗瑪峰不在中國西藏，勃朗峰不在法國。
因為勃朗峰在法國，所以例11-24的第二個合取支為假，這使得該合取命題為假。因此，在一個合取命題中，“假”類似於傳染病，隻要存在於一處，整個複合體就會被破壞。在例11-25中，兩個合取支都為假，因為它們都是一個真命題的否定。上述兩個命題可以用符號表示為：
例11-24a e ·～b
例11-25a ～e ·～b
另外，需要注意的是，像例11-23一樣，在日常語言中許多合取命題都是采用縮寫的形式。例如：
例11-26 羅特韋爾犬和多伯曼犬都是凶猛的狗。
上述命題在邏輯上等價於：
例11-27 羅特韋爾犬是凶猛的狗，並且多伯曼犬也是凶猛的狗。
然而，例11-28不是一個由兩個簡單命題組成的合取命題的簡寫，而是另一個簡單命題，用於描述兩種狗之間的一種特定的關係。
例11-28 羅特韋爾犬和多伯曼犬正在互相發出吠聲。
此外，還需注意的是，作為一個真值函項聯結詞，合取滿足交換律，即合取支的次序不影響相應複合命題的真值。假設例11-26為真，那麽依據相關事實，“多伯曼犬是凶猛的狗，並且羅特韋爾犬也是凶猛的狗”為真，例11-27也為真。然而，對於這一點，我們也得小心，因為有時次序需要被考慮。不過，在這種情況下合取就不是一個真值聯結詞了，例如：
例11-29 他脫了鞋，上了床鋪。
當例11-29和例11-30均為真時，所對應的事實並不完全相同：
例11-30 他上了床鋪，脫下鞋。
在這些非真值函項合取命題中，事件的次序（即合取支的次序）的確有影響。我們再觀察如下兩個例子：
例11-31 他看見她並且說“你好”。
例11-32 他說“你好”並且看見她。
最後，除了“並且”（and）之外，自然語言中還有很多表達合取的詞，包括“但是”（but）、“然而”（however、nevertheless、yet）、“也”（also）、“另外”（moreover）、“而”（while）、“即使”（even though）和“盡管”（although）等。
析取
析取也是一個滿足交換律的聯結詞，可以用自然語言表達為“或者”，用符號表示為“v”。相應的複合命題稱為“析取命題”。在表達一個析取命題的時候，聯結詞通常放在兩個命題之間，這兩個命題都稱為“析取支”。析取支既可以是一個簡單命題，也可以是一個複合命題。下麵是兩個析取命題（分別用自然語言和符號表示）：
例11-33 羅馬在意大利（italy），或者羅馬在芬蘭（find）。
例11-33a i v f
例11-34 羅馬不在意大利，或者巴黎不在法國（france）。
例11-34a ～i v～f
例11-33和例11-34都是析取命題，因此都是複合命題。析取是一個真值聯結詞，因為對於一個析取命題，隻要給定其析取支的真值，依據如下規則，就可以確定該析取命題的真值。
一個析取命題為假，當且僅當它的析取支都為假；否則，一個析取命題為真。
依據上述規則，一個析取命題為真，該命題中至少有一個析取支為真。由此可知，例11-33為真，而例11-34為假。例11-35也是假的，因為它的兩個析取支（均為複合命題）都為假。
例11-35 或者雪地（snow）防滑輪胎在熱帶是有用的並且空調（air conditioners）在冰島是流行的，或者企鵝（penguins）並非在寒冷中茁壯成長。
例11-35a （s · a） v ～p
顯然，合取命題（s · a）為假，因為它的兩個合取支都為假；同時，～p為假，因為它是p的否定，而p為真。因為例11-35的兩個析取支都為假，依據析取的真值規則，可知例11-35為假。
除了“或者”（or）之外，析取還可以由其他自然語言來表示，如“要麽……要麽……”和“除非”等。有時，析取被嵌入到否定中（例如“既不……也不……”）。這時，否定是主聯結詞。對於上述這些情況，請看如下例子：
例11-36 她是該課程的主講教師，除非課程表錯了。
例11-36a 要麽她是該課程的主講教師，要麽課程表錯了。
例11-37是例11-37a的縮略表達：
例11-37 中央情報局和聯邦調查局都不容忍恐怖分子。
例11-37a 既非中央情報局容忍恐怖分子，也非聯邦調查局容忍恐怖分子。
因為“既不……也不……”通常用於表達一個析取的否定，所以例11-37在邏輯上等價於：
例11-38 並非“要麽中央情報局容忍恐怖分子，要麽聯邦調查局容忍恐怖分子”。
因此，例11- 37和例11-38都可以被符號化為一個析取的否定：
例11-38a ～（c v f）
注意，這裏的主聯結詞是否定，不是析取。另外，例11-37和例11-38在邏輯上等值於例11-39。
例11-39 中央情報局不容忍恐怖分子，聯邦調查局也不容忍恐怖分子。
例11-39a ～c···～f
最後，一個真值函項析取是相容的，當兩個析取支可能都為真；或者是不相容的，當隻有其中之一可能為真。本書著重討論相容析取，其真值規則已在前麵給出。
實質條件
實質條件式是一種複合命題，又稱為“實質蘊涵式”或“條件式”。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為“如果……那麽……”，或用符號表示為“n”。例如：
例11-40 如果瑪麗亞是執業律師，那麽她已經通過了律師資格考試。
一個條件式由兩部分構成：放在“如果”後麵的是它的前件，而放在“那麽”後麵的是它的後件。
實質條件是一個真值函項聯結詞，因為對於由它所產生的複合命題，隻要給定其前件和後件的真值，依據如下規則，就可以確定該複合命題的真值。
一個實質條件式為假，當且僅當它的前件為真並且後件為假；否則，它為真。
因此，任意具有真後件的條件式為真，而任意具有假前件的條件式為真。
實質條件式中的兩個命題既可以是簡單命題，也可以是複合命題。它們代表一個假說關係，其中前件和後件都不是被獨立地斷定的。例11-40斷定瑪麗亞是執業律師嗎？不是。斷定她已經通過了律師資格考試了嗎？也不是。相反，在任意條件式“如果p那麽q”中，p和q代表這樣一種假說關係，使得p為真蘊含著q也為真。為了質疑一個條件式，我們必須表明其前件為真並且後件為假。
注意，有時用於引出一個條件句後件的“那麽”可以被省略。另外，除“如果……那麽……”之外，自然語言的其他表述也可以用於引入條件句的前件或後件。這些表述可以出現在一個語句的後件之前、前件之前，或者它們二者之前。在下麵的例子中，由雙下劃線標記的是前件，由單下劃線標記的是後件：
瑪麗亞已經通過了律師資格考試，隻要她是執業律師。
假定瑪麗亞是執業律師，則她已經通過了律師資格考試。
在假設瑪麗亞是執業律師的情況下，她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，隻有當她已經通過了律師資格考試。
瑪麗亞是執業律師，蘊含著她已經通過了律師資格考試。
現在我們把上述條件式用符號語言來表達。用“m·”代表“瑪麗亞是執業律師”，“e·”代表“她已經通過了律師資格考試”。如下公式表達了任何以“m·”為前件、以“e·”為後件的命題。它把“m·”放在最前麵，然後是馬蹄形符號，最後麵是“e·”：
例11-40a m n e
在形式化的過程中，我們遵循的規則是：
為了用符號語言來表達一個條件式，我們必須先列出它的前件，後列出它的後件，無論在自然語言句子中這兩部分以何種順序出現。
依據如下術語，我們把下麵的自然語言條件句翻譯為用符號語言表示的條件式：
n = 美國是一個超級大國。
i = 中國是一個超級大國。
c = 中國在其他國家有代理機構。
o = 美國在其他國家有代理機構。
例11-41 如果中國是一個超級大國，那麽中國和美國在其他國家都有代理機構。
例11-41a i n （c · o）
例11-42 並非“如果美國在其他國家有代理機構，那麽它是一個超級大國”。
例11-42a ～ （o n n）
例11-43 中國在其他國家有代理機構，隻要美國和中國都是超級大國。
例11-43a （n · i） n c
例11-44 如果美國在其他國家沒有代理機構，那麽它就不是一個超級大國。
例11-44a ～o n ～n
例11-45 中國在其他國家有代理機構，蘊含著：或者它是一個超級大國，或者美國不是一個超級大國。
例11-45a c n （i v ～n）
例11-46 如果“或者美國在其他國家有代理機構，或者中國在其他國家有代理機構”，那麽美國和中國都不是超級大國。
例11-46a （o v c） n ～ （n v i）
例11-47 如果美國不是一個超級大國，那麽它“或者在其他國家有代理機構，或者在其他國家沒有代理機構”。
例11-47a ～n n （o v ～o）
注意，“p除非q”也可以被表達為“如果並非p那麽q”。因此，“美國是聯合國的一個成員，除非美國拒斥聯合國憲章”，等價於“如果美國不是聯合國的一個成員，那麽美國拒斥聯合國憲章”。
充分條件和必要條件。在任意實質條件式中，前件是後件的充分條件，而後件是前件的必要條件。因此，“如果p那麽q”的另外一種方式是：p對q是充分的，而q對p是必要的。某個命題p為真的一個必要條件是指事情的某種狀態：若沒有它，則p不可能為真；但若僅僅依靠它自身，則並不足以使p為真。在例11-40中，“瑪麗亞已經通過了律師資格考試”是“她是一名執業律師”的必要條件（如果她沒有通過律師資格考試，那麽她不可能是一名執業律師，盡管僅僅通過律師資格考試並不能保證她是一名執業律師）。某個命題q為真的一個充分條件是指事情的某種狀態：僅僅依靠它自身就足以使q為真，但它並不是使q為真的唯一途徑。在例11-40中，“瑪麗亞是一名執業律師”是“她已經通過了律師資格考試”的充分條件（意思是前者保證了後者）。
在一個實質條件式中：
後件是前件為真的必要（但不是充分）條件。
前件是後件為真的充分（但不是必要）條件。
實質雙條件
一個實質雙條件式是一種複合命題，又稱“實質等值式”，或簡稱“雙條件式”。相應的真值函項聯結詞可以用自然語言表示為“當且僅當”，或用符號表示為“≡”。雙條件也可以用自然語言表示為其他形式，如：“恰好在……情況下”（just in case）、“等值於”（is equivalent to）、“當並且隻有當……的時候”（when and only when）等，或者縮寫作“iff”。一個雙條件式的兩個部分既可以是簡單命題，也可以是複合命題。下麵是一個由簡單命題構成的雙條件式，分別用自然語言和符號來表示：
例11-48 班克斯特博士是這所學院的校長，當且僅當她是該學院的首席執行官。
例11-48a b ≡ o
對於由雙條件式所產生的複合命題，它的真值取決於組成部分的真值，相應的真值規則如下：
一個實質雙條件式為真，當它的組成部分有相同的真值時成立，即它們要麽都為真、要麽都為假；否則，一個雙條件式為假。
給定上述規則，為了使得一個雙條件命題為真，組成它的命題必須具有相同的真值，即要麽兩者都為真、要麽兩者都為假。當一個雙條件式的構成部分具有不同的真值時，該雙條件式為假。例11-49～例11-51均為假，因為它們中的任何一個都描述了兩個具有不同真值的命題。
例11-49 喜馬拉雅山是一座山脈，當且僅當羅馬教皇是英國聖公會的領袖。
例11-50 倫敦在英格蘭，當且僅當波士頓在波斯尼亞。
例11-51 鸚鵡是哺乳動物，當且僅當貓是哺乳動物。
相反，以下雙條件式都為真，因為在各種情況下其組成部分都有相同的真值：
例11-52 林肯是被刺殺的，當且僅當肯尼迪是被刺殺的。
例11-53 北京是法國首都，當且僅當比爾·蓋茨是貧窮的。
例11-54 “櫟樹是樹木”與“老虎是貓科動物”在邏輯上是等值的。
在任意雙條件式中，每個組成部分既是另一部分的必要條件，也是它的充分條件。因此，在例11-48中，“班克斯特是該學院的首席執行官”既是“她是這所學院的校長”的必要條件，也是它的一個充分條件。“她是這所學院的校長”既是“她是該學院的首席執行官”的必要條件，也是它的充分條件。因此，一個雙條件式可以被理解為兩個條件式的合取。這樣，我們可以把例11-52表達為這兩種情況中的任意一種：
例11-52a l ≡ k
例11-52b （l n k） · （k n l）
例11-52b是兩個條件式的合取，其前件與後件互相蘊含。這就是為什麽我們把實質等值關係叫作“雙條件式”的原因。顯然，該聯結詞滿足交換律。
專欄11-1 小結：複合命題
受一個真值函項聯結詞影響的任何命題都是複合命題；否則，它是一個簡單命題。
一個複合命題的真值由如下兩個因素確定：
（1）它的組成部分的真值；
（2）與該命題中各個聯結詞相關的真值規則。
否定是唯一一個能夠影響單一命題的聯結詞。