十七
我們時代的這種數學在發展過程中必定要走到一種狀態：在那裏，不僅人為的幾何形式的極限，而且視覺本身的極限，實際上都被我們的理論以及我們的心靈視作是一種限製，視作是一種障礙，阻礙了內在可能性作毫無保留的表現——換句話說，在那裏，超越性的廣延的理想，與直接感知的局限發生了根本的衝突。古典的心靈，由於對柏拉圖式和斯多葛式的αταραξια（不動心）的全麵放棄，而屈從於感覺，並且（正如畢達哥拉斯學派的數那隱含的色情意義所顯示的）這一心靈與其說是發布（emitted）不如說是感受（felt）其偉大的象徵。它根本不可能超越此時此地的具體存在。但是，正如畢達哥拉斯學派的一名成員所認為的，數展示了“自然”中各別的和離散的事實（data）的本質，而笛卡兒和他的後繼者則把數看作是某種應當被征服的東西，應當被榨取的東西，看作是一種抽象的關係，與所有現象的支撐物全然無關，但卻能在一切場合在“自然”中突出自己。自《埃達》（the eddas）、大教堂和十字軍的最初哥特時期開始，甚至自古代征戰的哥特人和北歐海盜（vikings）開始，權力意誌（用尼采的偉大表述說）就已經顯示出了北方心靈對待其世界的態度，同時也在追求感官超越的熱情中顯示出了西方數字的動力學。在阿波羅式的數學中，才智是眼睛的僕人，而在浮士德式的數學中，才智是眼睛的主人。因此，我們看到，數學式的“絕對”空間根本上是非古典的，自一開始，它就是不同於日常經驗和傳統繪畫中那種不確定的空間性的東西，亦是不同於康德的先驗空間——它看起來像是一個毫不含糊的、確然的概念——的東西，雖然數學家們出於對希臘傳統的尊敬而不敢麵對這一事實。絕對空間是心靈的一種純粹抽象，是心靈的一種理想的、無法實現的意願，這心靈越來越不滿足於感覺的表達手段，終於狂熱地把這些手段棄之一旁。內在的眼睛覺醒了。
於是，第一次，那些深刻的思考者不得不承認，歐幾裏得幾何，這個在所有時代皆視為真實且唯一的幾何學，若從更高角度看，不過是一種假設而已，其普遍的有效性，自高斯以來，麵對其他完全非感覺的幾何學，我們就知道是根本不可能獲得證明的。這種幾何的一個關鍵命題，即歐幾裏得的平行公設，隻是一種論斷（assertion），因為我們還可以代之以另一個論斷。事實上，我們可以斷言說，通過某一給定的點，或是不可能有平行線，或是有兩條平行線，或是有更多的平行線，可以平行於某一給定的直線，而所有這些假設，都可以導向一種完全無懈可擊的三維空間的幾何，這些幾何都可以應用於物理學，甚至天文學，而且在某些情形下，可能更優於歐氏幾何。
甚至一個簡單的公設，如廣延是無邊界的——自黎曼和曲線空間理論以後，就必須把無邊界性（boundlessness）和無終止性（endlessness）區分開來——也與所有直接感覺的本質特徵相衝突，因為後者有賴於光阻（light-resistance）的存在，故而它事實上是有物質性的邊界的。但是，抽象的邊界原理可以想像成是：在一種全新的意義上超越視覺界定的可能性。在深刻的思想家看來，甚至在笛卡兒的幾何中，也存在超越三維的經驗空間的傾向，因為這種幾何把三維的經驗空間視作是對數字象徵符號的一種不必要的限製。雖然，直到1800年左右，多維空間（遺憾的是，找不到更合適的詞）的概念才為數學分析奠定了更廣泛的基礎，但是，向此邁出的真正的第一步，是在乘冪——實際上即是對數——脫離了原先與感覺上可認知的麵積和體積的關係，並通過無理數和複數指數的運用而進入函數的領域，成為純粹的一般關係值之後。任何一個稍微懂點數學推理的人，都會承認，當我們從把 3看作是一個自然最大值發展到把 n看作是自然最大值時，三維空間的無條件的必然性便隨之被取消了。
一旦空間要素或者說“點”不再殘留有視覺性的最後遺蹟，而且不再是作為坐標線上的一種切割被呈現在眼前，而是被界定為由三個獨立數構成的一個群，我們便不再有任何一致的理由來反對用一般的數字n取代數字3。維度的概念被根本地改變了。它不再是以度量的方式，參照“點”在某一可見係統內的位置，來處理點的特性的問題，而是藉助我們所願意的任何維度，來表達完全抽象的數群的特性的問題。數群——包含有n個獨立有序的要素——是點的意象（image），因而亦可稱之為是一個點。同樣地，由此而邏輯地獲得的方程式，亦可稱之為是一個平麵，是一個平麵的意象。至於n維度中所有點的集合，則可稱之為是一個n維空間。在這些遠離任何感覺主義的超越性的空間世界裏，就存在著所謂的關係，這便是我們的分析所要探討的對象，而我們也發現，這些關係與實驗物理學的數據常常是一致的。這種高級的空間，正是西方心靈的整個特性的一個象徵。唯有這種心靈，才會嚐試用這些形式去捕獲“既成物”和廣延物，才會嚐試通過這種挪用或禁忌去祈喚和結合——或者說去“認識”——那陌生的東西，並會取得成功。這些數字思想的領域，不是任何人都可以達到的，隻有極少數人能探得真諦。在尚未達到此等領域之前，諸如超複數（hypeplex numbers）係統（亦即矢量微積分的四元法）這樣的想像物，以及那些看起來毫無意義的符號表達，例如n,都不會獲得什麽實際的特徵。在此，隻有理解了此等數字思想的領域，那種現實性才不僅僅是感覺的現實性。精神為實現自己的觀念，決不會把自己局限於感覺形式。
我們時代的這種數學在發展過程中必定要走到一種狀態：在那裏，不僅人為的幾何形式的極限，而且視覺本身的極限，實際上都被我們的理論以及我們的心靈視作是一種限製，視作是一種障礙，阻礙了內在可能性作毫無保留的表現——換句話說，在那裏，超越性的廣延的理想，與直接感知的局限發生了根本的衝突。古典的心靈，由於對柏拉圖式和斯多葛式的αταραξια（不動心）的全麵放棄，而屈從於感覺，並且（正如畢達哥拉斯學派的數那隱含的色情意義所顯示的）這一心靈與其說是發布（emitted）不如說是感受（felt）其偉大的象徵。它根本不可能超越此時此地的具體存在。但是，正如畢達哥拉斯學派的一名成員所認為的，數展示了“自然”中各別的和離散的事實（data）的本質，而笛卡兒和他的後繼者則把數看作是某種應當被征服的東西，應當被榨取的東西，看作是一種抽象的關係，與所有現象的支撐物全然無關，但卻能在一切場合在“自然”中突出自己。自《埃達》（the eddas）、大教堂和十字軍的最初哥特時期開始，甚至自古代征戰的哥特人和北歐海盜（vikings）開始，權力意誌（用尼采的偉大表述說）就已經顯示出了北方心靈對待其世界的態度，同時也在追求感官超越的熱情中顯示出了西方數字的動力學。在阿波羅式的數學中，才智是眼睛的僕人，而在浮士德式的數學中，才智是眼睛的主人。因此，我們看到，數學式的“絕對”空間根本上是非古典的，自一開始，它就是不同於日常經驗和傳統繪畫中那種不確定的空間性的東西，亦是不同於康德的先驗空間——它看起來像是一個毫不含糊的、確然的概念——的東西，雖然數學家們出於對希臘傳統的尊敬而不敢麵對這一事實。絕對空間是心靈的一種純粹抽象，是心靈的一種理想的、無法實現的意願，這心靈越來越不滿足於感覺的表達手段，終於狂熱地把這些手段棄之一旁。內在的眼睛覺醒了。
於是，第一次，那些深刻的思考者不得不承認，歐幾裏得幾何，這個在所有時代皆視為真實且唯一的幾何學，若從更高角度看，不過是一種假設而已，其普遍的有效性，自高斯以來，麵對其他完全非感覺的幾何學，我們就知道是根本不可能獲得證明的。這種幾何的一個關鍵命題，即歐幾裏得的平行公設，隻是一種論斷（assertion），因為我們還可以代之以另一個論斷。事實上，我們可以斷言說，通過某一給定的點，或是不可能有平行線，或是有兩條平行線，或是有更多的平行線，可以平行於某一給定的直線，而所有這些假設，都可以導向一種完全無懈可擊的三維空間的幾何，這些幾何都可以應用於物理學，甚至天文學，而且在某些情形下，可能更優於歐氏幾何。
甚至一個簡單的公設，如廣延是無邊界的——自黎曼和曲線空間理論以後，就必須把無邊界性（boundlessness）和無終止性（endlessness）區分開來——也與所有直接感覺的本質特徵相衝突，因為後者有賴於光阻（light-resistance）的存在，故而它事實上是有物質性的邊界的。但是，抽象的邊界原理可以想像成是：在一種全新的意義上超越視覺界定的可能性。在深刻的思想家看來，甚至在笛卡兒的幾何中，也存在超越三維的經驗空間的傾向，因為這種幾何把三維的經驗空間視作是對數字象徵符號的一種不必要的限製。雖然，直到1800年左右，多維空間（遺憾的是，找不到更合適的詞）的概念才為數學分析奠定了更廣泛的基礎，但是，向此邁出的真正的第一步，是在乘冪——實際上即是對數——脫離了原先與感覺上可認知的麵積和體積的關係，並通過無理數和複數指數的運用而進入函數的領域，成為純粹的一般關係值之後。任何一個稍微懂點數學推理的人，都會承認，當我們從把 3看作是一個自然最大值發展到把 n看作是自然最大值時，三維空間的無條件的必然性便隨之被取消了。
一旦空間要素或者說“點”不再殘留有視覺性的最後遺蹟，而且不再是作為坐標線上的一種切割被呈現在眼前，而是被界定為由三個獨立數構成的一個群，我們便不再有任何一致的理由來反對用一般的數字n取代數字3。維度的概念被根本地改變了。它不再是以度量的方式，參照“點”在某一可見係統內的位置，來處理點的特性的問題，而是藉助我們所願意的任何維度，來表達完全抽象的數群的特性的問題。數群——包含有n個獨立有序的要素——是點的意象（image），因而亦可稱之為是一個點。同樣地，由此而邏輯地獲得的方程式，亦可稱之為是一個平麵，是一個平麵的意象。至於n維度中所有點的集合，則可稱之為是一個n維空間。在這些遠離任何感覺主義的超越性的空間世界裏，就存在著所謂的關係，這便是我們的分析所要探討的對象，而我們也發現，這些關係與實驗物理學的數據常常是一致的。這種高級的空間，正是西方心靈的整個特性的一個象徵。唯有這種心靈，才會嚐試用這些形式去捕獲“既成物”和廣延物，才會嚐試通過這種挪用或禁忌去祈喚和結合——或者說去“認識”——那陌生的東西，並會取得成功。這些數字思想的領域，不是任何人都可以達到的，隻有極少數人能探得真諦。在尚未達到此等領域之前，諸如超複數（hypeplex numbers）係統（亦即矢量微積分的四元法）這樣的想像物，以及那些看起來毫無意義的符號表達，例如n,都不會獲得什麽實際的特徵。在此，隻有理解了此等數字思想的領域，那種現實性才不僅僅是感覺的現實性。精神為實現自己的觀念，決不會把自己局限於感覺形式。