=三條邊無相等任意銳角三角形內切最大正三角形方法=正三角形三個頂點分別在銳角三角形的三條邊上=
作圖規則：
三角形abc，ab，ac，bc都不相等，三個角都不相等，三個內角都是銳角。
設三角形內有一個正三角形def，點f在ab邊上，點e在ac邊上，點d在bc邊上。
df=de=ef
做三角形def的最小外接圓，取該圓圓心為點o
od=oe=of
以點o做三邊垂線，垂足都在三邊上，分別是：
ab的垂線io垂足為點i
ac的垂線ho垂足為點h
bc的垂線go垂足為點g
勾股定律組1：
ai平方+io平方=ao平方
fi平方+io平方=fo平方
bg平方+go平方=bo平方
dg平方+go平方=do平方
ch平方+ho平方=co平方
eh平方+ho平方=eo平方
勾股定律組2：
ah平方+ho平方=ao平方
bi平方+io平方=bo平方
cg平方+go平方=co平方
長度等號組1：
ai+bi=ab
ah+ch=ac
bg+cg=bc
af+fi=ai
bd+dg=bd
ce+eh=ch
插圖1
勾股定律組1：
aj平方+fj平方=af平方
bm平方+fm平方=bf平方
bk平方+dk平方=bd平方
dn平方平方=cd平方
cl平方+el平方=ce平方
ep平方+ap平方=ae平方
勾股定律組2：
ak平方+dk平方=ad平方
bl平方+el平方=be平方
cj平方+fj平方=cf平方
fm平方+cm平方=cf平方
dn平方+an平方=ad平方
ep平方+bp平方=be平方
長度等號組1：
bk+ak=ab
aj+cj=ac
cl+bl=bc
ap+bp=ab
bm+cm=bc
an=ac
插圖2
角度關係
角afb=180
角afe=角afb(180..)-角efd(60..)-角bfd（以此類推）
角bof=角foi+角boi（以此類推）
擴展：
三角形內接最大麵積的正三角形，有兩種哦，還有一種是點d在ab邊上，點f在ac邊上，點e在bc邊上。
像是這種類比的問題的求解，也就不難發現為何數學工具需要開發出圖形計算器和科學計算器，以及可編程計算器了，確實，程序起源於數學，而又超越了數學。
當把這些邏輯關係都定義到程序中時，就可以直接通過輸入a點的xy坐標，b點的xy坐標，c點的xy坐標，然後得到點o的坐標和點e點f點d的坐標，或者通過輸入ab長度，bc長度，ac長度，從而得知ao和bo和co的長度，以及得知af，ce，bd的長度，以及輸出do的長度（用於畫圓快速驗證是否正確）。
作圖規則：
三角形abc，ab，ac，bc都不相等，三個角都不相等，三個內角都是銳角。
設三角形內有一個正三角形def，點f在ab邊上，點e在ac邊上，點d在bc邊上。
df=de=ef
做三角形def的最小外接圓，取該圓圓心為點o
od=oe=of
以點o做三邊垂線，垂足都在三邊上，分別是：
ab的垂線io垂足為點i
ac的垂線ho垂足為點h
bc的垂線go垂足為點g
勾股定律組1：
ai平方+io平方=ao平方
fi平方+io平方=fo平方
bg平方+go平方=bo平方
dg平方+go平方=do平方
ch平方+ho平方=co平方
eh平方+ho平方=eo平方
勾股定律組2：
ah平方+ho平方=ao平方
bi平方+io平方=bo平方
cg平方+go平方=co平方
長度等號組1：
ai+bi=ab
ah+ch=ac
bg+cg=bc
af+fi=ai
bd+dg=bd
ce+eh=ch
插圖1
勾股定律組1：
aj平方+fj平方=af平方
bm平方+fm平方=bf平方
bk平方+dk平方=bd平方
dn平方平方=cd平方
cl平方+el平方=ce平方
ep平方+ap平方=ae平方
勾股定律組2：
ak平方+dk平方=ad平方
bl平方+el平方=be平方
cj平方+fj平方=cf平方
fm平方+cm平方=cf平方
dn平方+an平方=ad平方
ep平方+bp平方=be平方
長度等號組1：
bk+ak=ab
aj+cj=ac
cl+bl=bc
ap+bp=ab
bm+cm=bc
an=ac
插圖2
角度關係
角afb=180
角afe=角afb(180..)-角efd(60..)-角bfd（以此類推）
角bof=角foi+角boi（以此類推）
擴展：
三角形內接最大麵積的正三角形，有兩種哦，還有一種是點d在ab邊上，點f在ac邊上，點e在bc邊上。
像是這種類比的問題的求解，也就不難發現為何數學工具需要開發出圖形計算器和科學計算器，以及可編程計算器了，確實，程序起源於數學，而又超越了數學。
當把這些邏輯關係都定義到程序中時，就可以直接通過輸入a點的xy坐標，b點的xy坐標，c點的xy坐標，然後得到點o的坐標和點e點f點d的坐標，或者通過輸入ab長度，bc長度，ac長度，從而得知ao和bo和co的長度，以及得知af，ce，bd的長度，以及輸出do的長度（用於畫圓快速驗證是否正確）。