2017年11月和夢馨的老師們開完家長會後，尚未來得及和她深談，我就到中國出差了。在中國期間，我給她寫了這封信。 <hr/>
夢馨：
你最近數學成績有所下滑，我希望你能夠盡快補上這門課所有的欠缺，因為數學實在很重要。那天開家長會，老師問你數學有什麽重要性，你對它的了解除了做題似乎沒有更深的體會。今天，我和你談談數學的重要性。
每一個學生都學過數學，但是大部分人在畢業後，就漸漸把它遺忘了，以致除了加減乘除，其他計算都不會了，更不知道數學有什麽用，進而懷疑學習數學的重要性。在很多人看來，不學習數學也能養活自己，隻要平時算賬別算錯就好。其實，學習數學的意義遠遠超過算賬，否則大家小學畢業就不用再上數學課了。
對於數學的用途，我是有切身體會的。如果我沒有學好數學，就不可能勝任穀歌的工作，今天的收入至少要少一個數量級，甚至可能沒有穩定的工作。雖然我不做數學家的工作，但是數學依然對我很有用，因為它承載的知識用途遠遠超過它表麵的作用。我覺得學習數學至少有三個好處。
第一，它是所有自然科學的基礎，甚至對經濟學這樣的人文學科也至關重要。
1951年，沃森和克裏克發現了dna（脫氧核糖核酸）的雙螺旋結構。當時，全世界很多科學家都試圖最先發現dna的結構。沃森和克裏克起步相對較晚，但是他們的優勢在於數學基礎比較好。別人在先通過x光衍射儀器看到dna的圖片後試圖構建它的模型，而他們則是先想象出dna的空間模型，然後用實驗數據確認。前者的做法有點兒像工匠總結經驗，後者則是數學家的做法。沃森和克裏克最終後來者居上，率先發現了dna的雙螺旋結構。從這個故事可以看出，數學知識，特別是數學思維對很多研究的重要性。在物理學，生理學或醫學，以及經濟學的諾貝爾獎中，有不少工作直接和數學有關，比如1979年豪斯菲爾德和科馬克因發明ct（計算機斷層掃描）算法而獲得諾貝爾生理學或醫學獎。
我在穀歌工作的時候，寫了《數學之美》這本書，介紹穀歌等公司的it背後的數學原理。讓我想不到的是，這本我原以為不會有太多人讀的書竟然成為暢銷書。很多讀者表示他們從書中受到了啟發，將數學用到了各個領域之中。今天，世界上最成功的對衝基金文藝複興科技公司也是由數學家和理論物理學家創辦的。它的創始人西蒙斯曾經是紐約州立大學數學係的主任，著名的微分幾何專家。這個基金中幾乎每個人都是學習數學和理論物理的，反而沒有學習金融的。
如果你想聽上麵這樣的例子，我可以給你舉很多。對於那些在各個行業成就出眾的人來說，數學是一個很好的工具。今天學習數學的人其實很少有人是以數學家為職業的，大多數人隻是把數學作為工具使用。
第二，在中學之後學習數學的一個主要目的是培養人的邏輯推理能力，因為邏輯推理是數學的基礎。我們在很多時候，無論是在生活中，還是在工作中，都需要做一些推理判斷，也就是從已知條件出發得到合理的結論。這中間需要一步步推理，不能憑想象得出結論。很多學生學習數學，為了考一個好成績，隻注重學習解題技巧，對一些方法死記硬背，而忽視了背後的邏輯性，這就偏離了學習數學的目的。背下來一些解題技巧固然是一個捷徑，但是當遇到那些解題技巧沒有涵蓋的所謂難題時，自然就不會做了。低水平的老師和笨學生，總是試圖采用題海戰術，覆蓋各種考試題。好老師則訓練學生的邏輯思維能力，而好學生在學習數學時也是平衡理解力、邏輯能力和基礎知識三者的關係，做到事半功倍。
你可能會奇怪為什麽我經常要你讀完教科書中的內容，把裏麵的公式推導一遍，這似乎是浪費時間，因為老師在課堂上已經講過了。我隻是希望你能通過這種方式掌握邏輯推理的方法。
第三，學習數學可以提高你的閱讀理解能力。很多時候，我發現你之所以把題目做錯了，是因為你把題目讀錯了，或者沒有讀懂。當你再讀一遍題目的時候，你就會做了。這種問題很常見，不隻你有，很多學生都是如此。數學沒有學好，是因為理解力不夠。很多所謂的數學難題，不過是因為一些已知條件沒有直接寫出來，而是隱含的。理解能力強的人，則能夠從表麵意思理解深層意思。比如題目中給了一個等邊三角形，它意味著什麽呢？不僅告訴你每條邊都相等，每個角等於60度，三角形內部任何一個點到三條邊的距離之和都相等，高等於邊長的√3/2，等等，其實給了一大堆已知條件。
通過字麵含義，讀懂真實含義，這個技能將來不僅在數學中有用，在生活和工作中也能經常用到。比如我告訴你一個學術會議將在紐約舉行，它意味著什麽呢？除了告訴你那是美國東部的一個大城市、金融中心之外，還告訴你那裏有幾千萬人口，出門會擁堵，要多留點兒時間。當然那裏有無數景點和博物館，你如果有空兒可以逛逛。此外，紐約有三個機場可以選擇起降，這樣便於你從最喜歡的航空公司買票。紐約還有很多好吃的飯館，你可以和同事一同去吃飯，去社交，等等。
至於如何學好數學，特別是在不需要做太多題、花太多時間的前提下學好數學，根據我的經驗，做好以下三件事就能做到事半功倍。
其一，還是前麵提到的提高閱讀理解能力。看懂書，讀懂題是解題的基礎，這一條常常被大家忘卻。
其二，建立比較完整的數學知識體係。你們在課堂上學的大部分內容，都落在這個範疇中。在理解了題目之後，解題的第二個要素就是要看基本的數學知識是否掌握了。如果你不知道勾股定理，給你一個直角三角形的兩條邊，你是無論如何也算不出第三條邊的。不過，有時，人們把學習數學單純理解為學習數學知識點，缺乏係統性，這樣就做不出來難題。美國絕大部分中學基本的數學知識教育是有所欠缺的。我的一個讀者是斯坦福大學的博士生，他在做助教時發現有1/5的斯坦福學生居然不知道sin90°是多少，還要問教授。那個教授是從法國畢業的，非常鄙夷地看著這群學生，問他們：“你們是怎麽混進斯坦福的？”因為這個問題對於法國學生來說完全就是數學常識。斯坦福的學生數學基礎知識如此欠缺，其他大學的學生隻會更糟糕。但是世界上有很多國家的學生並非如此，因此不能以達到美國高中對數學基本知識的要求為滿足。
第三，善用邏輯。任何數學結論，都是從已知條件出發，嚴格邏輯推理的結果。一個人能否進行有效的邏輯推理，不僅僅關乎他能否學好數學，也關係到他能否把其他事情做好。這又回到了學習數學的意義。
雖然，我沒有在美國上過中學數學課，但是我相信學習數學的方法是相通的。我前幾天把你們的aime（美國數學邀請賽）的題打印了一份，做了做，成績是12分，這在美國是罕見的好成績。這說明我在中國學到的解題方法，對美國的問題還是有效的。
學習數學是一個慢功夫，但是如果方法得當，見效要比學習語言快一些，半年左右的時間就能見效。因此，你不要著急，慢慢來，幾個月後，就能看到自己努力的效果了。
你的父親2017年11月 <hr/>
夢馨：
你最近數學成績有所下滑，我希望你能夠盡快補上這門課所有的欠缺，因為數學實在很重要。那天開家長會，老師問你數學有什麽重要性，你對它的了解除了做題似乎沒有更深的體會。今天，我和你談談數學的重要性。
每一個學生都學過數學，但是大部分人在畢業後，就漸漸把它遺忘了，以致除了加減乘除，其他計算都不會了，更不知道數學有什麽用，進而懷疑學習數學的重要性。在很多人看來，不學習數學也能養活自己，隻要平時算賬別算錯就好。其實，學習數學的意義遠遠超過算賬，否則大家小學畢業就不用再上數學課了。
對於數學的用途，我是有切身體會的。如果我沒有學好數學，就不可能勝任穀歌的工作，今天的收入至少要少一個數量級，甚至可能沒有穩定的工作。雖然我不做數學家的工作，但是數學依然對我很有用，因為它承載的知識用途遠遠超過它表麵的作用。我覺得學習數學至少有三個好處。
第一，它是所有自然科學的基礎，甚至對經濟學這樣的人文學科也至關重要。
1951年，沃森和克裏克發現了dna（脫氧核糖核酸）的雙螺旋結構。當時，全世界很多科學家都試圖最先發現dna的結構。沃森和克裏克起步相對較晚，但是他們的優勢在於數學基礎比較好。別人在先通過x光衍射儀器看到dna的圖片後試圖構建它的模型，而他們則是先想象出dna的空間模型，然後用實驗數據確認。前者的做法有點兒像工匠總結經驗，後者則是數學家的做法。沃森和克裏克最終後來者居上，率先發現了dna的雙螺旋結構。從這個故事可以看出，數學知識，特別是數學思維對很多研究的重要性。在物理學，生理學或醫學，以及經濟學的諾貝爾獎中，有不少工作直接和數學有關，比如1979年豪斯菲爾德和科馬克因發明ct（計算機斷層掃描）算法而獲得諾貝爾生理學或醫學獎。
我在穀歌工作的時候，寫了《數學之美》這本書，介紹穀歌等公司的it背後的數學原理。讓我想不到的是，這本我原以為不會有太多人讀的書竟然成為暢銷書。很多讀者表示他們從書中受到了啟發，將數學用到了各個領域之中。今天，世界上最成功的對衝基金文藝複興科技公司也是由數學家和理論物理學家創辦的。它的創始人西蒙斯曾經是紐約州立大學數學係的主任，著名的微分幾何專家。這個基金中幾乎每個人都是學習數學和理論物理的，反而沒有學習金融的。
如果你想聽上麵這樣的例子，我可以給你舉很多。對於那些在各個行業成就出眾的人來說，數學是一個很好的工具。今天學習數學的人其實很少有人是以數學家為職業的，大多數人隻是把數學作為工具使用。
第二，在中學之後學習數學的一個主要目的是培養人的邏輯推理能力，因為邏輯推理是數學的基礎。我們在很多時候，無論是在生活中，還是在工作中，都需要做一些推理判斷，也就是從已知條件出發得到合理的結論。這中間需要一步步推理，不能憑想象得出結論。很多學生學習數學，為了考一個好成績，隻注重學習解題技巧，對一些方法死記硬背，而忽視了背後的邏輯性，這就偏離了學習數學的目的。背下來一些解題技巧固然是一個捷徑，但是當遇到那些解題技巧沒有涵蓋的所謂難題時，自然就不會做了。低水平的老師和笨學生，總是試圖采用題海戰術，覆蓋各種考試題。好老師則訓練學生的邏輯思維能力，而好學生在學習數學時也是平衡理解力、邏輯能力和基礎知識三者的關係，做到事半功倍。
你可能會奇怪為什麽我經常要你讀完教科書中的內容，把裏麵的公式推導一遍，這似乎是浪費時間，因為老師在課堂上已經講過了。我隻是希望你能通過這種方式掌握邏輯推理的方法。
第三，學習數學可以提高你的閱讀理解能力。很多時候，我發現你之所以把題目做錯了，是因為你把題目讀錯了，或者沒有讀懂。當你再讀一遍題目的時候，你就會做了。這種問題很常見，不隻你有，很多學生都是如此。數學沒有學好，是因為理解力不夠。很多所謂的數學難題，不過是因為一些已知條件沒有直接寫出來，而是隱含的。理解能力強的人，則能夠從表麵意思理解深層意思。比如題目中給了一個等邊三角形，它意味著什麽呢？不僅告訴你每條邊都相等，每個角等於60度，三角形內部任何一個點到三條邊的距離之和都相等，高等於邊長的√3/2，等等，其實給了一大堆已知條件。
通過字麵含義，讀懂真實含義，這個技能將來不僅在數學中有用，在生活和工作中也能經常用到。比如我告訴你一個學術會議將在紐約舉行，它意味著什麽呢？除了告訴你那是美國東部的一個大城市、金融中心之外，還告訴你那裏有幾千萬人口，出門會擁堵，要多留點兒時間。當然那裏有無數景點和博物館，你如果有空兒可以逛逛。此外，紐約有三個機場可以選擇起降，這樣便於你從最喜歡的航空公司買票。紐約還有很多好吃的飯館，你可以和同事一同去吃飯，去社交，等等。
至於如何學好數學，特別是在不需要做太多題、花太多時間的前提下學好數學，根據我的經驗，做好以下三件事就能做到事半功倍。
其一，還是前麵提到的提高閱讀理解能力。看懂書，讀懂題是解題的基礎，這一條常常被大家忘卻。
其二，建立比較完整的數學知識體係。你們在課堂上學的大部分內容，都落在這個範疇中。在理解了題目之後，解題的第二個要素就是要看基本的數學知識是否掌握了。如果你不知道勾股定理，給你一個直角三角形的兩條邊，你是無論如何也算不出第三條邊的。不過，有時，人們把學習數學單純理解為學習數學知識點，缺乏係統性，這樣就做不出來難題。美國絕大部分中學基本的數學知識教育是有所欠缺的。我的一個讀者是斯坦福大學的博士生，他在做助教時發現有1/5的斯坦福學生居然不知道sin90°是多少，還要問教授。那個教授是從法國畢業的，非常鄙夷地看著這群學生，問他們：“你們是怎麽混進斯坦福的？”因為這個問題對於法國學生來說完全就是數學常識。斯坦福的學生數學基礎知識如此欠缺，其他大學的學生隻會更糟糕。但是世界上有很多國家的學生並非如此，因此不能以達到美國高中對數學基本知識的要求為滿足。
第三，善用邏輯。任何數學結論，都是從已知條件出發，嚴格邏輯推理的結果。一個人能否進行有效的邏輯推理，不僅僅關乎他能否學好數學，也關係到他能否把其他事情做好。這又回到了學習數學的意義。
雖然，我沒有在美國上過中學數學課，但是我相信學習數學的方法是相通的。我前幾天把你們的aime（美國數學邀請賽）的題打印了一份，做了做，成績是12分，這在美國是罕見的好成績。這說明我在中國學到的解題方法，對美國的問題還是有效的。
學習數學是一個慢功夫，但是如果方法得當，見效要比學習語言快一些，半年左右的時間就能見效。因此，你不要著急，慢慢來，幾個月後，就能看到自己努力的效果了。
你的父親2017年11月 <hr/>