第6章 觀念:意外絞刑悖論
推理的迷宮：悖論、謎題及知識的脆弱性 作者：威廉·龐德斯通 投票推薦 加入書簽 留言反饋
一個囚徒站在死刑法官麵前聽候判決。法官的話相當不吉利：“我不得不做出殘酷而罕見的判決。我能夠做出的最嚴厲的判決是絞刑。這個恐怖的刑罰必須執行。除此之外，我唯一的自由是安排你的行刑日期。對此有兩種考慮讓我猶豫不定。”
“最直接的想法是下令立即執行，馬上生效；相反的想法是，這樣決定也許對你過分仁慈了，你將不必為即將到來的命運而擔驚受怕。因此，我做出一個折中的決定：在下周7天中的某一天，我會在日出時判處你絞刑。我保證，你不可能事先知道自己將在哪一天被絞死。每個夜晚，你入睡時都在擔心明天早晨是不是可怕的末日，而當最後的時刻來臨時，它將完全是一個意外。”
囚徒退後，發現他的律師在聽到這個難以置信的、殘酷的宣判以後，竟然露出了微笑。他們走出法庭之後，律師說：“他們不能絞死你。”律師解釋說：“根據安排，在下周的7天中的某一天，在日出時你將被絞死。於是，他們不能在星期六絞死你，因為這是一周的最後一天。如果在星期五的早晨你沒有被絞死，那麽你就確切無疑地知道行刑日是星期六。這與法官的計劃矛盾，法官的計劃是不讓你事先知道行刑日期。”
囚徒對此表示讚同。律師接著說：“實際上，他們最遲隻能在星期五絞死你，這一點沒問題。但是仔細一考慮，他們在星期五也不能絞死你。既然星期六實際上已經被排除，星期五是他們可以絞死你的最後一天，那麽，如果你在星期四早晨能活到吃早飯的時候，你將確切地知道自己將死於星期五。這又與法官的命令矛盾。你發現了嗎？根據同樣的邏輯，可以排除星期四、星期三，乃至於其他每一天。法官把自己套住了。這個判絕不可能被執行。”
這個囚徒的愉快心情隻保持到了星期二。他從美夢中醒來，被押往刑場——這對他來說非常意外。 突然襲擊的考試與隱藏的雞蛋
意外絞刑悖論中包含著兩個陷阱。我們認為，悖論在於似是而非的判決無法被執行。確實如此。哲學家邁克爾·斯克裏文（michael scriven）寫道：“邏輯的力量遭到事實的否決，我覺得這正是此悖論的迷人之處。可憐的邏輯學家念著過去屢試不爽的咒語，但事實上這個怪獸聽不懂咒語，執意前行。”
這個悖論擁有非同尋常的聲望，因為它是在一個真實事件的啟發之下誕生的。它可以追溯到第二次世界大戰期間（1943年或1944年）瑞典廣播公司播放的一個廣播聲明： <blockquote>
本周將舉行一次民防演習。為了確保各個民防單位真正處於無準備的狀態，任何人都不會預先知道演習將在哪一天發生。 </blockquote>
瑞典數學家萊納特·埃克波姆（lennart ekbom）在聲明中發現了微妙的矛盾，並且告訴了他在艾斯特毛姆學院的學生。從此，這個問題很快傳遍世界。它被裝扮成好幾種軼聞的形式。其他的版本包括a級燈火管製、將在下周舉行的臨時軍事演習、教師進行突然襲擊的考試，等等。
在許多一個人的知識不完善的場合，都可以看到這個悖論的影子。米爾納（e. v. milner）注意到《聖經·新約》中的一個寓言故事與此類似。這個寓言講的是富豪和麻風病人。富豪有錢，死後要下地獄；麻風病人是窮人，一生都在受苦，死後要進天堂。富豪向亞伯拉罕祈憐，但是亞伯拉罕說，不行，生前的不公正必須在下一世精確地得到補償，活著時走運的人死後必須受苦。米爾納的“富豪與麻風病人”悖論揭示了“來世正義”這個概念中的矛盾： <blockquote>
……假定我們實際發現了某些方法讓活著的人（無論貴賤）確信，在來世“正義必將來臨”，那麽在我看來，將出現一個有趣的悖論。如果我知道自己在此世遭受的不幸將會被來世的幸福所補償，那麽我在此世是幸福的。但是既然我在此世是幸福的，我就沒有資格（姑且用這個說法）在來世享福。於是，如果有一個這樣的補償等著我，那麽這個補償的存在就要求我應當至少不完全確信它的存在。頗具諷刺意味的是，“正義必將來臨”這個判斷看來隻對那些不相信它的人生效。這是因為，如果一個人相信它，正義就已經生效過了。 </blockquote>
意外絞刑悖論中的一個比較次要的缺陷是，囚徒有可能根本不被絞死。在囚徒的推理中，“死刑一定會執行”是一個重要的前提。為了彌補這個缺陷，邁克爾·斯克裏文采用雞蛋實驗的形式重新表述了這個悖論，他的分析發表在1951年的英國雜誌《心靈》上：“你麵前有一排盒子，共10個，分別編為1號至10號。你轉過身去，你的朋友把一個雞蛋藏進其中一個盒子裏。雞蛋一定在某個盒子裏，這是毫無疑問的。你的朋友說：‘依次打開盒子。我保證，你將在某個盒子裏意外地發現雞蛋。’顯然，她不能把雞蛋藏進10號箱子，因為你在打開9號盒子以後就會確知雞蛋的位置。推演和反推依然生效，而最後你會意外地在某個盒子——比方說6號盒子裏發現雞蛋。” 霍利斯悖論
囚徒的精妙推理可以延伸到什麽限度並無限製。我們研究一個比較新的變種——霍利斯悖論（由馬丁·霍利斯提出）：
火車上的兩個人a和b各自選一個數，然後通過耳語告訴另一個乘客c。c起身宣布：“我到站了。你們兩人告訴我的是兩個不同的正整數。你們倆都無法推出誰選的數大。”然後c下車了。
a和b在沉默中繼續自己的旅程。a選的數是157，他想：“顯然b選的不是1。如果他選的是1，他就會知道我選的數比他的大，因為c剛說過我們兩個選的數不同。同樣明顯的是，b也知道我沒有選1。沒錯，1可以完全被排除，我們兩人都不會選。最小的有可能的數是2。但是如果b選的是2，他應當知道我選的不是2。於是2也被排除……”
如果他的旅途足夠長，他可以排除每一個數。 一個簡化的悖論
當我們麵臨疑難時，應當先把疑難簡化。7天和10個盒子（以及阿列夫零[1]個整數）是不必要的東西。如果隻有6天（6個盒子），或者5天、4天，悖論依然存在。那麽，問題可以簡化到什麽程度呢？簡化到兩天？還是簡化到一天？
我們試一下一天的情況。法官宣布囚徒將在星期六被處死（囚徒當然聽到了判決）。毫無疑問，囚徒預先知道行刑日期。他當然知道。劊子手唯一可以讓他感到意外的辦法是根本不吊死他，但是這種可能性一開始就排除了。因此，這裏沒有意外，也沒有悖論。法官做出了一個不可能的要求。“你將死於星期六，而且這將是一個意外”，這句話無異於“你將死於星期六，而且2+2=5”。總之，這句話的後半部分是錯誤的。
現在把簡化的目標調低一點兒，考慮兩天的情況。法官宣布囚徒將在下周末被絞死，但是囚徒不可能推出究竟在哪一天（星期六還是星期日）行刑。那麽，悖論依然存在嗎？
毋庸置疑，囚徒無論如何將在兩天中的一天被處死。如果星期六日出時沒有行刑，那麽在星期六的早餐時刻，囚徒就會確切地知道自己將在星期日被處死。
然而，這意味著判決無法被嚴格執行：行刑不是意外的。結論：判絕不可能以在星期日絞死囚徒的方式執行。
在星期六行刑是否可以滿足“意外”這個要求？這依賴於囚徒是否預期星期六行刑。有兩種可能：囚徒預期星期六行刑以及囚徒未預期星期六行刑。
囚徒可能這樣想：“好吧，我已經沒救了。”然後就不再考慮了。關於在哪一天行刑他沒有任何考慮。在這種情況下，劊子手隻需在星期六絞死囚徒就可以滿足法官的要求。（星期日依然需要排除。如果星期六沒有行刑，即使最隨遇而安的囚徒也會意識到，他將死於星期日。）
悖論的關鍵在於第二種可能性：囚徒確實分析了自己的處境，並且預計劊子手將在星期六到來，這樣劊子手將無法滿足“意外”這個要求。
我們暫且把悖論放到一邊。如果你是劊子手，你會怎麽做？你必須在星期六或者星期日行刑，而且你必須遵守法官的命令——如果命令可以被執行的話。
顯然，一個盡全力執行命令的、聰明的劊子手幾乎肯定不得不選擇在星期六行刑。在星期日行刑不可能不被預見到。在星期六行刑，劊子手至少可以寄希望於囚徒沒有深入考慮這個問題。
於是，劊子手在星期六日出時分把囚徒押赴刑場。根據慣例，囚徒可以說出他的遺言。囚徒轉向法官，說道：“你的劊子手沒有執行命令！我預見了今天被處死。隻有在今天被處死，我才有可能無法預見到結局，但是我還是預見到了！”
囚徒和劊子手在鬥智，每一方都可以預見對方做出的關於行刑日期的推理。當然，如果遇到一個愚蠢的囚徒，此人既不思考自己的命運，也不嚐試反複猜測，那麽這個悖論就無法成立。但是，如果雙方都是精通邏輯謎題的高手，那麽這裏確實有一個意義深遠的悖論。 時間旅行悖論
蘇格蘭數學家托馬斯·h·奧貝恩（thomas h. o’ beirne）指出，這種情況是有可能的：一個人做出一個關於未來事件的預言，而且此預言是真實的，但其他人直到事後才知道它是真實的。當法官說囚徒將會感到意外時，法官是正確的，即使囚徒（當下）還不知道法官是正確的。
把悖論換一種表述可以看得更清楚：法官宣判，在下周的某個時間處死囚徒（日期由劊子手確定）。之後法官鑽進一台時間機器，把時間撥到一周以後（或者更遠）。到達不久的將來以後，法官走出時間機器，買了一份報紙，讀到囚徒在宣判之後的星期二被處死的報道。囚徒在最後一次接受采訪時說，他對這個日期感到吃驚，他原以為他們等到本周末才會行刑。一個殘酷的想法跳進法官的腦海：“如果我回到宣判的當天告訴囚犯，他將無法猜出行刑的日期，這將是一個正確的判決，因為身處未來的我知道他感到吃驚。而且，我對他這麽一說，就會把他搞瘋！”
法官回到時間機器裏，重返宣判的那一天。他走出來，對囚犯說：“你將在下周被絞死，但你事先無法猜出行刑的日期。”（和最初的悖論一樣。）囚犯得出結論：他不可能被絞死。他錯了，法官對了。
以上敘述有問題嗎？有。法官真實地見到了自己最初的判決的後果（最初的判決沒有提到日期是無法預知的），告訴囚犯他將感到意外，因為這一舉動改變了一些事——變化也許無關緊要，也許意義重大。現在已不能確保囚犯一定會對此感到驚訝。
旅行到未來的法官也許知道，他為自己妹妹的生日舉行的意外聚會確實是妹妹未曾預料的。如果他回到前一周，告訴妹妹這一情況，那麽很明顯，妹妹在生日那天就不會感到意外了。把關於未來的一些有效信息透露出去會使得信息不再有效。
如果法官可以任意地使用時間機器，這個問題不難解決。法官在告訴囚犯他將感到意外以後，可以溜到未來，驗證一下他的預言是否準確。如果準確，萬事大吉；如果不準確，他可以再返回去修改自己的判決，直到預言與實際情況相符。結果應當是，預言是真實的，但是囚犯在事前無法知道它是真實的。
貝裏悖論［因圖書管理員貝裏（g.g.berry）而得名，此人向羅素介紹了這個悖論］看起來與意外絞刑悖論很不一樣，但是二者之間有深刻的相似之處。想一下“不能以少於18個音節定義的最小整數”。[2]當然，某個數恰好滿足這個條件，但是“不能以少於18個音節定義的最小整數”這個詞組本身，就是描述一個確定的數的表達式，而此表達式隻包含17個音節。所以，“不能以少於18個音節定義的最小整數”實際上被17個音節定義了！
貝裏悖論無法輕易地解決這個問題。我們設想在這個悖論中隱藏著一個妖精，它無所不知。一旦某人給出了一個含糊的詞組，這個詞組就會被妖精獲知。看來，這個妖精可以知道關於每一個整數的所有可能的表達式或句子。對它來說，有一個數就是不能以少於18個音節定義的最小整數！這個妖精就像意外絞刑悖論中的法官那樣，知道一些我們不可能知道的事。
所有這一切似乎表明，在意外絞刑悖論中，法官可以知道他認為自己知道的信息。然而，囚犯和劊子手的推理也是很有道理的。那麽，究竟誰是正確的——如果他們並非全錯的話？ 什麽是知道？
意外絞刑悖論提出了一個問題：什麽是知道？囚犯陷入了二級猜測、三級猜測乃至於n級猜測的網絡之中。他認為，他知道自己不能在星期六被絞死。劊子手認為，他知道囚犯不能知道行刑的日期。這個悖論令我們擔心兩種相反的情況：一是由錯誤的理由支撐的真理；二是由正確的理由支撐的謬誤。在科學哲學中，我們經常遭遇同樣的問題。我們經常通過與囚犯類似的推理鏈條“知道”某事——當然，不是在刑事審判中。
就像其他最常見的詞匯一樣，“知道”這個詞有非常豐富的含義。當我們說“我知道凱爾特人將奪得冠軍”時，我們其實心懷疑慮——我們經常以這種方式使用“知道”這個詞。但是在科學研究中，我們總是希望“知道”這個詞代表更加確切的含義。
多年以來，哲學家以三條標準定義“知道”，這三條標準被稱為“三重理由”。當且僅當這些標準得到滿足時，我們會知道某事。[3]
我們來考慮一個例子。這個例子應當屬於某個數學分支。假定你知道4 294 967 297是一個質數（除了1和它本身以外，任何其他整數去除它，都不能整除）。有三個條件必須被滿足：
第一，你相信4 294 967 297是一個質數。如果你甚至不相信它本身，你就不可能知道它。我們不能說，一個人相信地球是平的，但是他知道地球是圓的。
第二，你關於4 294 967 297是質數的觀念是合理的。你有相信它的好理由。你的觀念不能以計算錯誤為依據。你也不能根據預感、通過研究茶葉的形狀、神靈附體等途徑建立觀念。
第三，4 294 967 297確實是一個質數。顯然，如果這個命題是錯誤的，你就不能把它當作事實來知道它。
這三條原則初看起來像是陳詞濫調，提不起我們的興趣。但是“知道”並不像表麵上看起來那麽簡單。在三條原則中，第二條是最麻煩的。為什麽要求觀念是“合理”的？看起來，我們相信某事而且該事是真的，這兩條可能就足夠了。
如果我們隻用這兩條標準界定“知道”，就會把一些瞎貓碰上死耗子的情況也包括進去。在刺殺肯尼迪事件（1963）和刺殺裏根未遂事件（1981）之後，幾個靈學家跳出來宣稱，她們早就做出了預言。她們中至少有某些人預言了在事件發生日期前後，總統將處於危險中，而且在事件發生前，這些預言已發表或通過媒體公布。同樣是這些靈學家，她們也做過假預言。華盛頓靈學家珍妮·狄克遜（jeane dixon）每年都做出大量預言，其中難免會出現一些正確的預言。即使這也算“知道”的話，它也不是什麽有用的知識。
什麽是相信某事的“好理由”，這並不容易判斷。1640年，法國數學家費馬（pierre de fermat）覺得他有理由相信4 294 967 297是質數。他注意到，從以下公式可以產生質數：
22n+1
費馬的公式是一個多級指數。一個常見的指數，例如23，表示寫在左下方的數（2）乘以自己若幹次，乘積的次數即作為小寫的上標的數。23即2x2x2=8。在費馬公式中，我們首先選擇一個任意數n，計算出頂端的指數（2n），然後把底數2以這個數值為指數自乘，最後加1。
例如，221+1等於5，這是質數。222+1等於17，223+1等於257，224+1等於65 537，這些全是質數。費馬猜測，4 294 967 297（225+1）以及這個序列中所有更大的數一定是質數。
許多人同樣相信，這裏有經驗證據和權威的雙重支持。但是，正如你很可能已經猜到的，4 294 967 297根本不是質數。瑞士數學家發現這個數等於641乘以6 700 417。[4] 科學與三重理由
相信、合理、真實——在科學史中充滿各種各樣的例子，分別對應著這三個條件的各種組合。我們用t表示一個條件被滿足，用f表示一個條件不被滿足，排列就按如上次序。
ttt表示一個合理的真觀念，即一個已被接受的知識。大多數科學觀念都屬於這一類，無論如何，這部分是正確的。
ftt表示不被相信的、合理的真理。有許多例子屬於這一類。例如，神創論者拒絕相信進化論，雖然有許多壓倒性的證據支持進化論。神創論者構成了一個準科學的宗派。拒絕新發現，保有因循守舊的觀點［法國科學院拒絕接受隕石，物理學家赫伯特·丁格爾（herbert dingle）古怪地拒絕相對論，等等］都屬於ftt。麵對這種頑固勢力，物理學家普朗克（max nck）抱怨道（1949）：“一個新的科學真理得以確立，並非因為其反對者認識到新理論的正確性而接受了新理論，更大程度上是因為反對者最終死了，而熟悉新理論的新一代成長起來了。”[5]
tft是不合理的真觀念。這就是由錯誤的理由支撐的真理，靈學家碰巧蒙對的猜測就屬於此類。這一類信念也有許多例子。公元前5世紀的德謨克利特相信一個真理：所有物質都是由極其微小而不可見的微粒——原子構成的。雖然他的著作已經失傳，但是他不大可能有被我們視為有效的證據。他的判斷是一個哲學性的猜想，而結果是正確的。（20世紀物理學所說的原子並不像德謨克利特設想的那樣是不可見的，認識到這一點，德謨克利特的幸運猜測就不那麽令人驚異了。）
ttf是一個合理但錯誤的觀念。許多相互延續的、關於宇宙的理論都屬於此類，回顧一下這類理論是有趣的。古代人基於他們的理解有理由相信，太陽圍繞著地球轉。雖然一代又一代的學校老師把這種觀點當作謬誤的典型，但是敢於把太陽視為一個在遙遠處環繞這個世界而動並因而造成日夜變化的物理對象，這需要一定的才智。哥白尼把太陽當作宇宙的中心，他有理由這樣相信，但他同樣是錯誤的。由於ttf是假的，我們無法舉出一個當前被普遍接受的觀念作為例證，但如果我們現在接受的宇宙理論大體上是錯誤的，這也沒什麽好奇怪的。
另外四種情況包括至少兩個未滿足的條件。tff是不合理而且實際上是錯誤的觀念，例如迷信的觀點、荒誕的傳說。ftf是一種獨特的情況：盡管我們有理由相信，但是它不被相信，而實際上也是錯誤的。對上文描述的ttf抱有懷疑的人屬於這種情況。哥白尼相信太陽是宇宙的中心，這種觀點合理但它是錯誤的；天主教統治集團不相信哥白尼的觀點，則屬於ftf。
fft代表一個真理，但是由於缺乏合理的理由而不被人們相信。某人拒絕相信某事，他的懷疑是有理由的，但事實上此事是真的。反對德謨克利特的原子論的曆代哲學家（他們沒有理由相信原子）是一個例子。在某種程度上，每一次科學革命都是由合理的保守主義（fft）轉變為對立麵（ftt）的。
最後一種情況是fff，這是沒有理由的、錯誤的、被拒絕的觀念。例如，不相信永動機的人，不相信“月球是由綠奶酪製成的”這樣的廢話的人，他們的觀點屬於此類。 布裏丹語句
有些觀念無法歸入以上任何一個類別。“布裏丹語句”就挑戰了所有對“知道”進行定義的努力。“布裏丹語句”得名於14世紀哲學家讓·布裏丹（jean buridan）的《詭辯》中的例子，表述如下：
沒有人相信此語句。
如果這個語句是真的，則沒有人相信它，於是沒有人“知道”它。如果這個語句是假的，則至少有一個人相信它，但是沒有人（無論相信者還是不信者）“知道”它，因為它是假的。因此，任何人都不可能“知道”這個語句是真的！
你相信下麵這個語句嗎？
你不相信此語句。
你相信這個語句是愚蠢的，因為這意味著你相信你不相信它。但是如果你不相信它，那麽你有充分的理由相信它，因為它是真的……如果以上分析令你相信它，那麽你馬上又會陷入困境。相信它是荒唐的，整個推理又得重來一遍。奇怪的是，關於這個語句，你無法站在一個穩定的立場上。然而，在任何一個瞬間，一個了解你全部思想的、全知的存在者可以說出你是否相信它。
這個語句的反麵（“你相信此語句”）說出了笛卡兒的“我思故我在”的要旨。隻要你相信這個語句，那麽它就是真的。如果你不相信它，那麽它就是假的，而且你有非常充分的理由不相信它。無論你對這個語句持什麽立場，你都是正確的。
“知道者悖論”比這還要奇怪。這個悖論的核心是如下斷言（與意外絞刑悖論中法官的陳述類似）：
沒有人知道這個語句。
如果它是真的，那麽沒有人“知道”它。如果它是假的，則立刻導致矛盾：有人“知道”它，但是很明顯，沒有人可以“知道”一個錯誤。因而，這個語句不是假的。它是毫無疑問的事實，但是從來沒有人“知道”它！ 蓋梯爾反例
盡管三重理由給出的三條標準已經導致悖論，它們還不構成充分條件。滿足這三個條件還不能保證“知道”。我們有一個合理的、真實的觀念，但是並不“知道”我們相信的東西——這是有可能的。這些悖論性的情況被稱為“蓋梯爾反例”，得名於美國哲學家埃德蒙·蓋梯爾（edmund gettier），此人在1963年的一篇論文中討論了這些例子。
當反例應用於歸納概括時，是對一個命題或一段論證的反駁。蓋梯爾反例（通常）是一個虛構的場景，用來說明傳統的三條標準並不必然導致“知道”。如果說前文提到的靈學家的例子屬於“錯誤的理由導致正確的結論”，那麽蓋梯爾反例的核心在於“正確的理由導致正確的結論，但是這些理由無法生效”。這種類型的錯誤困擾了哲學家（以及作家）很長時間。典型的蓋梯爾反例有一個歐·亨利（o. henry）風格的牽強的巧合。
在蓋梯爾之前，柏拉圖在一篇蘇格拉底對話錄（《泰阿泰德》）中已預見了這個問題。他討論了一個伶牙俐齒的律師，這個律師的口才足以令陪審團相信一個有罪的委托人是無辜的。假定委托人是無辜的。陪審團相信這個委托人是無辜的，而且他們可以舉出他們剛聽到的有效的證據。然而，假如這個委托人實際上是有罪的，陪審團在卓越的辯護的催眠之下，同樣會欣然相信委托人的無辜。柏拉圖主張，他們的“知道”是假“知道”，實際上他們並不“知道”委托人是無辜的。
蓋梯爾最初的例子之一是這樣的：史密斯和瓊斯到一個公司去應聘一個職務。史密斯剛和公司的總裁談過話，被告知瓊斯將得到這份工作。史密斯相信瓊斯將得到這份工作，而且有合理的理由。史密斯還相信瓊斯的口袋裏有10枚硬幣，因為剛才他看見瓊斯為了找一枚25美分的硬幣倒空了自己的口袋，然後把10枚硬幣放回口袋。此後史密斯一直盯著瓊斯，確信瓊斯既沒有把硬幣再拿出來，也沒放入新的硬幣。
史密斯在心裏胡思亂想：“看起來，口袋裏有10枚硬幣的人將得到這份工作。”他相信這一點是合理的，因為這是從“瓊斯將得到這份工作”和“瓊斯的口袋裏有10枚硬幣”推出的邏輯結論。
蓋梯爾認識到，這些觀念可能是錯誤的，然而史密斯依然可能是正確的。假定史密斯得到了這份工作（總裁改了主意），而且瓊斯的口袋裏實際上有11枚硬幣（有1枚卡在了口袋的襯裏上），非但如此，史密斯的口袋裏也有10枚硬幣。於是，“口袋裏有10枚硬幣的人將得到這份工作”是正確的。但是，如果我們說史密斯“知道”這一點，這是荒唐的——史密斯不過是蒙對了。
蓋梯爾反例的斧鑿之痕不一定總是如此明顯。某人吃完午飯回來問你幾點了，你看了一眼自己的表，答道：2時14分。你相信此時是2時14分。你的觀念當然是合理的：你的表很貴，一直走得很準，而且（出於對精確時間的癡迷）你每天晚上都根據官方廣播電台對表，把手表時間校準到秒。實際上，此時確實是2時14分，但是你不知道的是，昨晚你的表停了，指針停在了淩晨2時14分的位置上。你在此之前一直沒看表，直到事隔整整12個小時，出於偶然，壞表恰好指示了正確的時間。
另一個例子：你到盧浮宮去看《蒙娜麗莎》。你在100張畫中認出了這幅畫，你與“蒙娜麗莎”同處一室，為此你激動不已。後來你得知，博物館的管理人員得到消息，有人計劃偷這幅畫。於是，在你參觀盧浮宮那天，管理人員用一副傑出的複製品替代了真跡。但是，你確實與達·芬奇的這幅傑作同處一室，因為真跡就隱藏在附近一幅不值錢的畫的背後，那是竊賊最不容易發現的地方。
在科學史上也有蓋梯爾反例。一個例子是，煉金術士相信金屬可以變成黃金。這個觀念不僅以單純的直覺為基礎，煉金術士最早把關於物質的知識係統化，他們正確地認識到，某種物質通過化學反應可以轉變為另一種完全不同的物質。他們進一步發現，世界不是無限多樣的，而是由相對較少的一些基本物質構成的。既然紅汞可以變成汞，為什麽賤金屬不能變成黃金？看來，唯一的問題就是找到正確的配方。
即使在今天看來，這個猜想也有一定道理，這個猜想隻不過碰巧是錯誤的。紅色的、易碎的紅汞可以變化為銀色的液體水銀，是因為紅汞是汞和硫（兩種元素）的化合物。如果黃金是由普通元素構成的化合物，或者某些普通物質是由金和其他東西構成的化合物，那麽把普通物質變成黃金就是可能的。不幸的是，金是一種元素，而且沒有哪種普通物質是金的化合物。化學家可以從某些東西（比如說氯化金）中提煉黃金，但是氯化金比黃金本身還稀有。
盡管如此，事實上在原子反應中，其他元素可以轉化為金（或者任何其他元素），而煉金術士對原子反應一無所知。煉金術士有合理、正確的觀念，但說他們“知道”其他元素可以轉化為金，顯然是不對的。
對蓋梯爾反例的一種反應是，這些例子不過是“從錯誤的理由得出正確的結論”這種情況的特例。在每個例子中，所謂“合理”的觀念都不是毫無疑問的合理，“很可能”與“確定”被混為一談。
在史密斯找工作的例子裏，史密斯與公司總裁的對話並未提供足夠充分的理由令他相信“瓊斯將得到這份工作”。這個理由足以為“瓊斯將得到這份工作”分配一個高概率，但並不足以把它當作確切的事實來相信。史密斯應當已經意識到了，對方可能故意放出假消息以誤導求職者，幹擾他對機會的判斷。
另一方麵，即使像外部世界的存在這樣確切無疑的觀念，也可以設計成蓋梯爾反例的情況。此時此刻，你最能確定的是什麽？也許你非常確信，此刻這本書就放在你麵前。但是你有可能是一顆“缸中之腦”。一個實驗室的看門人在打掃衛生的時候，把一本書放在你麵前，由於一個極巧的巧合，彼書就是此書。
要點在於，如果我們要求“合理”的觀念必須是能夠確切無疑地相信，那麽我們定義“知道”的工作就會癱瘓。假定我們把確切無疑作為一條標準，我們就需要掌握確切無疑的理由。更糟糕的是，在外部世界中，沒有任何東西是不可辯駁地確定的。如果我們為了“知道”某事必須百分之百地確切，那麽我們就不可能“知道”任何事（甚至包括我們有理由相信的、真實的事）。 第四個條件
人們付出了巨大的努力去尋找第四個條件。第四個條件應當補充前三個條件，確保我們“知道”。它不僅需要消除所有的蓋梯爾反例，而且應當禁止更加奇異的反例出現。
明顯正確的、令所有人欣然接受的第四個標準尚未被發現。在確立第四條標誌的幾種嚐試中，得到最充分討論的一種觀點認為，合理的真觀念同時必須是不可失效的——它不能因環境條件的弱化而失效。
在蓋梯爾反例中，假“知道”的當事人這時候會敲著自己的腦袋說：“當時我要是知道就好了！”他們本可以避免錯誤，如果知道——或者僅僅相信——某些特定的信息的話（畫已經被拿走了，表已經停了，等等）。這些使他們的觀念失效的事實被稱為“敗因”。如果這些當事人相信敗因，他們就沒有合理的理由相信那些悖論性的真命題了。
此刻是下午2時14分，你看了一眼自己的表，相信此刻是下午2時14分；你同樣相信昨晚你的表停了，再也沒走過。這樣的話，你相信此刻是下午2時14分就是不合理的。這是不合理的，因為敗因已經徹底推翻了最初的關於此刻的時間的證據（你的表指向2時14分），現在你的表顯示什麽時間已經無關緊要了。不可失效性條件要求，諸如此類的環境條件的弱化不會出現。
沒有人真正知道，什麽時候一個觀念會受到一個這樣的敗因的威脅。不可失效性條件也許可以滿足第四個條件的理論需要，但是不能幫助我們避免蓋梯爾的假“知道”。 囚徒和蓋梯爾
現在我們回到意外絞刑悖論。我們可以從三重理由出發做出論證：囚徒的“知道”是一個假象。奎因認為，囚徒（或者律師）的全部推理都是錯誤的。就連第一個推理（囚徒不能在最後一天被絞死）也是無效的。
當法官說囚徒不可能預知行刑的日期時，很明顯，他的意思是說，一個完全遵循邏輯思維的囚徒將無法確切地推出行刑日期。一個普通的、不那麽遵循邏輯思維的囚徒可能擁有更大的自由空間，他可能憑直覺確定一個日子，甚至有可能猜對（一個不合理的但正確的觀念）。囚徒無法選擇行刑日期，這足以說明囚徒不是真知道，隻是猜對了。如果法官的命令確實有什麽意義的話，其意義就在於禁止僅僅憑借推理確定日期的可能性。
為簡單起見，我們假定行刑日期隻能在兩個日子中做出選擇。假設囚徒的論證是有效的，他可以根據邏輯確定，為了奉行法官的指示，他一定會在星期六被處死。劊子手（此人和囚徒一樣聰明）同樣可以推出這個結論。這樣的話，他就沒有理由在星期六而非星期日行刑了。為什麽呢？囚徒預測星期六是行刑日（根據歸謬法假定這個前提），但是，即使由於某個奇跡，囚徒沒有在星期六被絞死，他也可以推出行刑將發生在星期六。這就使得劊子手沒有理由傾向於選擇某一天而非另一天。如果他在星期六行刑，他會受到譴責；如果他不在星期六行刑，他也會受到譴責。
因此，劊子手可以在兩個日子裏自由選擇行刑日。這意味著，囚徒推出他將在星期六被絞死的推理是錯誤的。
如果我們願意，我們可以假定囚徒推出星期日是唯一合乎邏輯的行刑目。但是這使得劊子手有同樣的理由在星期六行刑，這同樣說明囚徒的推理是錯誤的。
以上分析導致了兩個並列的蓋梯爾反例。假定囚徒在星期六被絞死。表麵看來，囚徒似乎是正確的。囚徒的觀念是合理的真觀念，然而，這並非真正的預先知道。囚徒沒有意識到他的觀念的敗因：他有同樣合理的理由相信行刑日是星期日。如上所述，如果假定囚徒必須在星期六被絞死，則推出他同樣可以在另一天被絞死。囚徒的觀念中的敗因就是觀念本身。
意外絞刑悖論是對演繹推理的一個警示。囚徒的推論是：他不可能在星期日被絞死，因此星期六是唯一的可能。致命的錯誤在於，他以為排除了不可能的情況就可以保證留下其他的可能情況。但有時所有的可能性都導致矛盾。
律師的結論是法官的命令不可能得到執行，他的觀點更加片麵。律師和囚徒都沒發現下一步更為殘酷的推論：如果囚徒相信法官的命令不可能得到執行，那麽劊子手可以在任何一天絞死他，甚至可以選擇最後一天，而且絞刑將是意外的。
[1] 阿列夫零是集合論中的術語，讀者可以把這個詞大致理解為無窮大。——譯者注
[2] 直譯原文應為“不能以少於19個音節定義的最小整數”，在英語中這個詞組恰好包括18個音節。——譯者注
[3] 關於“知道”的研究至今尚無公認的結果。——譯者注
[4] 有許多公式最初可以產生質數，但算過一些值之後會失敗。最著名的例子之一是n2–79n+1 601，直到n取80之前，這個公式一直產生質數，但是當n取80時就不是質數了。這就是在數學中根據歸納得出概括命題的危險。
[5] 艾倫·l·麥凱（n l. mackay）對此的回應是：“既然曾經生活過的物理學家中的百分之九十現在依然健在，為什麽我們還是在產生新的思想和觀點呢？”
“最直接的想法是下令立即執行，馬上生效；相反的想法是，這樣決定也許對你過分仁慈了，你將不必為即將到來的命運而擔驚受怕。因此，我做出一個折中的決定：在下周7天中的某一天，我會在日出時判處你絞刑。我保證，你不可能事先知道自己將在哪一天被絞死。每個夜晚，你入睡時都在擔心明天早晨是不是可怕的末日，而當最後的時刻來臨時，它將完全是一個意外。”
囚徒退後，發現他的律師在聽到這個難以置信的、殘酷的宣判以後，竟然露出了微笑。他們走出法庭之後，律師說：“他們不能絞死你。”律師解釋說：“根據安排，在下周的7天中的某一天，在日出時你將被絞死。於是，他們不能在星期六絞死你，因為這是一周的最後一天。如果在星期五的早晨你沒有被絞死，那麽你就確切無疑地知道行刑日是星期六。這與法官的計劃矛盾，法官的計劃是不讓你事先知道行刑日期。”
囚徒對此表示讚同。律師接著說：“實際上，他們最遲隻能在星期五絞死你，這一點沒問題。但是仔細一考慮，他們在星期五也不能絞死你。既然星期六實際上已經被排除，星期五是他們可以絞死你的最後一天，那麽，如果你在星期四早晨能活到吃早飯的時候，你將確切地知道自己將死於星期五。這又與法官的命令矛盾。你發現了嗎？根據同樣的邏輯，可以排除星期四、星期三，乃至於其他每一天。法官把自己套住了。這個判絕不可能被執行。”
這個囚徒的愉快心情隻保持到了星期二。他從美夢中醒來，被押往刑場——這對他來說非常意外。 突然襲擊的考試與隱藏的雞蛋
意外絞刑悖論中包含著兩個陷阱。我們認為，悖論在於似是而非的判決無法被執行。確實如此。哲學家邁克爾·斯克裏文（michael scriven）寫道：“邏輯的力量遭到事實的否決，我覺得這正是此悖論的迷人之處。可憐的邏輯學家念著過去屢試不爽的咒語，但事實上這個怪獸聽不懂咒語，執意前行。”
這個悖論擁有非同尋常的聲望，因為它是在一個真實事件的啟發之下誕生的。它可以追溯到第二次世界大戰期間（1943年或1944年）瑞典廣播公司播放的一個廣播聲明： <blockquote>
本周將舉行一次民防演習。為了確保各個民防單位真正處於無準備的狀態，任何人都不會預先知道演習將在哪一天發生。 </blockquote>
瑞典數學家萊納特·埃克波姆（lennart ekbom）在聲明中發現了微妙的矛盾，並且告訴了他在艾斯特毛姆學院的學生。從此，這個問題很快傳遍世界。它被裝扮成好幾種軼聞的形式。其他的版本包括a級燈火管製、將在下周舉行的臨時軍事演習、教師進行突然襲擊的考試，等等。
在許多一個人的知識不完善的場合，都可以看到這個悖論的影子。米爾納（e. v. milner）注意到《聖經·新約》中的一個寓言故事與此類似。這個寓言講的是富豪和麻風病人。富豪有錢，死後要下地獄；麻風病人是窮人，一生都在受苦，死後要進天堂。富豪向亞伯拉罕祈憐，但是亞伯拉罕說，不行，生前的不公正必須在下一世精確地得到補償，活著時走運的人死後必須受苦。米爾納的“富豪與麻風病人”悖論揭示了“來世正義”這個概念中的矛盾： <blockquote>
……假定我們實際發現了某些方法讓活著的人（無論貴賤）確信，在來世“正義必將來臨”，那麽在我看來，將出現一個有趣的悖論。如果我知道自己在此世遭受的不幸將會被來世的幸福所補償，那麽我在此世是幸福的。但是既然我在此世是幸福的，我就沒有資格（姑且用這個說法）在來世享福。於是，如果有一個這樣的補償等著我，那麽這個補償的存在就要求我應當至少不完全確信它的存在。頗具諷刺意味的是，“正義必將來臨”這個判斷看來隻對那些不相信它的人生效。這是因為，如果一個人相信它，正義就已經生效過了。 </blockquote>
意外絞刑悖論中的一個比較次要的缺陷是，囚徒有可能根本不被絞死。在囚徒的推理中，“死刑一定會執行”是一個重要的前提。為了彌補這個缺陷，邁克爾·斯克裏文采用雞蛋實驗的形式重新表述了這個悖論，他的分析發表在1951年的英國雜誌《心靈》上：“你麵前有一排盒子，共10個，分別編為1號至10號。你轉過身去，你的朋友把一個雞蛋藏進其中一個盒子裏。雞蛋一定在某個盒子裏，這是毫無疑問的。你的朋友說：‘依次打開盒子。我保證，你將在某個盒子裏意外地發現雞蛋。’顯然，她不能把雞蛋藏進10號箱子，因為你在打開9號盒子以後就會確知雞蛋的位置。推演和反推依然生效，而最後你會意外地在某個盒子——比方說6號盒子裏發現雞蛋。” 霍利斯悖論
囚徒的精妙推理可以延伸到什麽限度並無限製。我們研究一個比較新的變種——霍利斯悖論（由馬丁·霍利斯提出）：
火車上的兩個人a和b各自選一個數，然後通過耳語告訴另一個乘客c。c起身宣布：“我到站了。你們兩人告訴我的是兩個不同的正整數。你們倆都無法推出誰選的數大。”然後c下車了。
a和b在沉默中繼續自己的旅程。a選的數是157，他想：“顯然b選的不是1。如果他選的是1，他就會知道我選的數比他的大，因為c剛說過我們兩個選的數不同。同樣明顯的是，b也知道我沒有選1。沒錯，1可以完全被排除，我們兩人都不會選。最小的有可能的數是2。但是如果b選的是2，他應當知道我選的不是2。於是2也被排除……”
如果他的旅途足夠長，他可以排除每一個數。 一個簡化的悖論
當我們麵臨疑難時，應當先把疑難簡化。7天和10個盒子（以及阿列夫零[1]個整數）是不必要的東西。如果隻有6天（6個盒子），或者5天、4天，悖論依然存在。那麽，問題可以簡化到什麽程度呢？簡化到兩天？還是簡化到一天？
我們試一下一天的情況。法官宣布囚徒將在星期六被處死（囚徒當然聽到了判決）。毫無疑問，囚徒預先知道行刑日期。他當然知道。劊子手唯一可以讓他感到意外的辦法是根本不吊死他，但是這種可能性一開始就排除了。因此，這裏沒有意外，也沒有悖論。法官做出了一個不可能的要求。“你將死於星期六，而且這將是一個意外”，這句話無異於“你將死於星期六，而且2+2=5”。總之，這句話的後半部分是錯誤的。
現在把簡化的目標調低一點兒，考慮兩天的情況。法官宣布囚徒將在下周末被絞死，但是囚徒不可能推出究竟在哪一天（星期六還是星期日）行刑。那麽，悖論依然存在嗎？
毋庸置疑，囚徒無論如何將在兩天中的一天被處死。如果星期六日出時沒有行刑，那麽在星期六的早餐時刻，囚徒就會確切地知道自己將在星期日被處死。
然而，這意味著判決無法被嚴格執行：行刑不是意外的。結論：判絕不可能以在星期日絞死囚徒的方式執行。
在星期六行刑是否可以滿足“意外”這個要求？這依賴於囚徒是否預期星期六行刑。有兩種可能：囚徒預期星期六行刑以及囚徒未預期星期六行刑。
囚徒可能這樣想：“好吧，我已經沒救了。”然後就不再考慮了。關於在哪一天行刑他沒有任何考慮。在這種情況下，劊子手隻需在星期六絞死囚徒就可以滿足法官的要求。（星期日依然需要排除。如果星期六沒有行刑，即使最隨遇而安的囚徒也會意識到，他將死於星期日。）
悖論的關鍵在於第二種可能性：囚徒確實分析了自己的處境，並且預計劊子手將在星期六到來，這樣劊子手將無法滿足“意外”這個要求。
我們暫且把悖論放到一邊。如果你是劊子手，你會怎麽做？你必須在星期六或者星期日行刑，而且你必須遵守法官的命令——如果命令可以被執行的話。
顯然，一個盡全力執行命令的、聰明的劊子手幾乎肯定不得不選擇在星期六行刑。在星期日行刑不可能不被預見到。在星期六行刑，劊子手至少可以寄希望於囚徒沒有深入考慮這個問題。
於是，劊子手在星期六日出時分把囚徒押赴刑場。根據慣例，囚徒可以說出他的遺言。囚徒轉向法官，說道：“你的劊子手沒有執行命令！我預見了今天被處死。隻有在今天被處死，我才有可能無法預見到結局，但是我還是預見到了！”
囚徒和劊子手在鬥智，每一方都可以預見對方做出的關於行刑日期的推理。當然，如果遇到一個愚蠢的囚徒，此人既不思考自己的命運，也不嚐試反複猜測，那麽這個悖論就無法成立。但是，如果雙方都是精通邏輯謎題的高手，那麽這裏確實有一個意義深遠的悖論。 時間旅行悖論
蘇格蘭數學家托馬斯·h·奧貝恩（thomas h. o’ beirne）指出，這種情況是有可能的：一個人做出一個關於未來事件的預言，而且此預言是真實的，但其他人直到事後才知道它是真實的。當法官說囚徒將會感到意外時，法官是正確的，即使囚徒（當下）還不知道法官是正確的。
把悖論換一種表述可以看得更清楚：法官宣判，在下周的某個時間處死囚徒（日期由劊子手確定）。之後法官鑽進一台時間機器，把時間撥到一周以後（或者更遠）。到達不久的將來以後，法官走出時間機器，買了一份報紙，讀到囚徒在宣判之後的星期二被處死的報道。囚徒在最後一次接受采訪時說，他對這個日期感到吃驚，他原以為他們等到本周末才會行刑。一個殘酷的想法跳進法官的腦海：“如果我回到宣判的當天告訴囚犯，他將無法猜出行刑的日期，這將是一個正確的判決，因為身處未來的我知道他感到吃驚。而且，我對他這麽一說，就會把他搞瘋！”
法官回到時間機器裏，重返宣判的那一天。他走出來，對囚犯說：“你將在下周被絞死，但你事先無法猜出行刑的日期。”（和最初的悖論一樣。）囚犯得出結論：他不可能被絞死。他錯了，法官對了。
以上敘述有問題嗎？有。法官真實地見到了自己最初的判決的後果（最初的判決沒有提到日期是無法預知的），告訴囚犯他將感到意外，因為這一舉動改變了一些事——變化也許無關緊要，也許意義重大。現在已不能確保囚犯一定會對此感到驚訝。
旅行到未來的法官也許知道，他為自己妹妹的生日舉行的意外聚會確實是妹妹未曾預料的。如果他回到前一周，告訴妹妹這一情況，那麽很明顯，妹妹在生日那天就不會感到意外了。把關於未來的一些有效信息透露出去會使得信息不再有效。
如果法官可以任意地使用時間機器，這個問題不難解決。法官在告訴囚犯他將感到意外以後，可以溜到未來，驗證一下他的預言是否準確。如果準確，萬事大吉；如果不準確，他可以再返回去修改自己的判決，直到預言與實際情況相符。結果應當是，預言是真實的，但是囚犯在事前無法知道它是真實的。
貝裏悖論［因圖書管理員貝裏（g.g.berry）而得名，此人向羅素介紹了這個悖論］看起來與意外絞刑悖論很不一樣，但是二者之間有深刻的相似之處。想一下“不能以少於18個音節定義的最小整數”。[2]當然，某個數恰好滿足這個條件，但是“不能以少於18個音節定義的最小整數”這個詞組本身，就是描述一個確定的數的表達式，而此表達式隻包含17個音節。所以，“不能以少於18個音節定義的最小整數”實際上被17個音節定義了！
貝裏悖論無法輕易地解決這個問題。我們設想在這個悖論中隱藏著一個妖精，它無所不知。一旦某人給出了一個含糊的詞組，這個詞組就會被妖精獲知。看來，這個妖精可以知道關於每一個整數的所有可能的表達式或句子。對它來說，有一個數就是不能以少於18個音節定義的最小整數！這個妖精就像意外絞刑悖論中的法官那樣，知道一些我們不可能知道的事。
所有這一切似乎表明，在意外絞刑悖論中，法官可以知道他認為自己知道的信息。然而，囚犯和劊子手的推理也是很有道理的。那麽，究竟誰是正確的——如果他們並非全錯的話？ 什麽是知道？
意外絞刑悖論提出了一個問題：什麽是知道？囚犯陷入了二級猜測、三級猜測乃至於n級猜測的網絡之中。他認為，他知道自己不能在星期六被絞死。劊子手認為，他知道囚犯不能知道行刑的日期。這個悖論令我們擔心兩種相反的情況：一是由錯誤的理由支撐的真理；二是由正確的理由支撐的謬誤。在科學哲學中，我們經常遭遇同樣的問題。我們經常通過與囚犯類似的推理鏈條“知道”某事——當然，不是在刑事審判中。
就像其他最常見的詞匯一樣，“知道”這個詞有非常豐富的含義。當我們說“我知道凱爾特人將奪得冠軍”時，我們其實心懷疑慮——我們經常以這種方式使用“知道”這個詞。但是在科學研究中，我們總是希望“知道”這個詞代表更加確切的含義。
多年以來，哲學家以三條標準定義“知道”，這三條標準被稱為“三重理由”。當且僅當這些標準得到滿足時，我們會知道某事。[3]
我們來考慮一個例子。這個例子應當屬於某個數學分支。假定你知道4 294 967 297是一個質數（除了1和它本身以外，任何其他整數去除它，都不能整除）。有三個條件必須被滿足：
第一，你相信4 294 967 297是一個質數。如果你甚至不相信它本身，你就不可能知道它。我們不能說，一個人相信地球是平的，但是他知道地球是圓的。
第二，你關於4 294 967 297是質數的觀念是合理的。你有相信它的好理由。你的觀念不能以計算錯誤為依據。你也不能根據預感、通過研究茶葉的形狀、神靈附體等途徑建立觀念。
第三，4 294 967 297確實是一個質數。顯然，如果這個命題是錯誤的，你就不能把它當作事實來知道它。
這三條原則初看起來像是陳詞濫調，提不起我們的興趣。但是“知道”並不像表麵上看起來那麽簡單。在三條原則中，第二條是最麻煩的。為什麽要求觀念是“合理”的？看起來，我們相信某事而且該事是真的，這兩條可能就足夠了。
如果我們隻用這兩條標準界定“知道”，就會把一些瞎貓碰上死耗子的情況也包括進去。在刺殺肯尼迪事件（1963）和刺殺裏根未遂事件（1981）之後，幾個靈學家跳出來宣稱，她們早就做出了預言。她們中至少有某些人預言了在事件發生日期前後，總統將處於危險中，而且在事件發生前，這些預言已發表或通過媒體公布。同樣是這些靈學家，她們也做過假預言。華盛頓靈學家珍妮·狄克遜（jeane dixon）每年都做出大量預言，其中難免會出現一些正確的預言。即使這也算“知道”的話，它也不是什麽有用的知識。
什麽是相信某事的“好理由”，這並不容易判斷。1640年，法國數學家費馬（pierre de fermat）覺得他有理由相信4 294 967 297是質數。他注意到，從以下公式可以產生質數：
22n+1
費馬的公式是一個多級指數。一個常見的指數，例如23，表示寫在左下方的數（2）乘以自己若幹次，乘積的次數即作為小寫的上標的數。23即2x2x2=8。在費馬公式中，我們首先選擇一個任意數n，計算出頂端的指數（2n），然後把底數2以這個數值為指數自乘，最後加1。
例如，221+1等於5，這是質數。222+1等於17，223+1等於257，224+1等於65 537，這些全是質數。費馬猜測，4 294 967 297（225+1）以及這個序列中所有更大的數一定是質數。
許多人同樣相信，這裏有經驗證據和權威的雙重支持。但是，正如你很可能已經猜到的，4 294 967 297根本不是質數。瑞士數學家發現這個數等於641乘以6 700 417。[4] 科學與三重理由
相信、合理、真實——在科學史中充滿各種各樣的例子，分別對應著這三個條件的各種組合。我們用t表示一個條件被滿足，用f表示一個條件不被滿足，排列就按如上次序。
ttt表示一個合理的真觀念，即一個已被接受的知識。大多數科學觀念都屬於這一類，無論如何，這部分是正確的。
ftt表示不被相信的、合理的真理。有許多例子屬於這一類。例如，神創論者拒絕相信進化論，雖然有許多壓倒性的證據支持進化論。神創論者構成了一個準科學的宗派。拒絕新發現，保有因循守舊的觀點［法國科學院拒絕接受隕石，物理學家赫伯特·丁格爾（herbert dingle）古怪地拒絕相對論，等等］都屬於ftt。麵對這種頑固勢力，物理學家普朗克（max nck）抱怨道（1949）：“一個新的科學真理得以確立，並非因為其反對者認識到新理論的正確性而接受了新理論，更大程度上是因為反對者最終死了，而熟悉新理論的新一代成長起來了。”[5]
tft是不合理的真觀念。這就是由錯誤的理由支撐的真理，靈學家碰巧蒙對的猜測就屬於此類。這一類信念也有許多例子。公元前5世紀的德謨克利特相信一個真理：所有物質都是由極其微小而不可見的微粒——原子構成的。雖然他的著作已經失傳，但是他不大可能有被我們視為有效的證據。他的判斷是一個哲學性的猜想，而結果是正確的。（20世紀物理學所說的原子並不像德謨克利特設想的那樣是不可見的，認識到這一點，德謨克利特的幸運猜測就不那麽令人驚異了。）
ttf是一個合理但錯誤的觀念。許多相互延續的、關於宇宙的理論都屬於此類，回顧一下這類理論是有趣的。古代人基於他們的理解有理由相信，太陽圍繞著地球轉。雖然一代又一代的學校老師把這種觀點當作謬誤的典型，但是敢於把太陽視為一個在遙遠處環繞這個世界而動並因而造成日夜變化的物理對象，這需要一定的才智。哥白尼把太陽當作宇宙的中心，他有理由這樣相信，但他同樣是錯誤的。由於ttf是假的，我們無法舉出一個當前被普遍接受的觀念作為例證，但如果我們現在接受的宇宙理論大體上是錯誤的，這也沒什麽好奇怪的。
另外四種情況包括至少兩個未滿足的條件。tff是不合理而且實際上是錯誤的觀念，例如迷信的觀點、荒誕的傳說。ftf是一種獨特的情況：盡管我們有理由相信，但是它不被相信，而實際上也是錯誤的。對上文描述的ttf抱有懷疑的人屬於這種情況。哥白尼相信太陽是宇宙的中心，這種觀點合理但它是錯誤的；天主教統治集團不相信哥白尼的觀點，則屬於ftf。
fft代表一個真理，但是由於缺乏合理的理由而不被人們相信。某人拒絕相信某事，他的懷疑是有理由的，但事實上此事是真的。反對德謨克利特的原子論的曆代哲學家（他們沒有理由相信原子）是一個例子。在某種程度上，每一次科學革命都是由合理的保守主義（fft）轉變為對立麵（ftt）的。
最後一種情況是fff，這是沒有理由的、錯誤的、被拒絕的觀念。例如，不相信永動機的人，不相信“月球是由綠奶酪製成的”這樣的廢話的人，他們的觀點屬於此類。 布裏丹語句
有些觀念無法歸入以上任何一個類別。“布裏丹語句”就挑戰了所有對“知道”進行定義的努力。“布裏丹語句”得名於14世紀哲學家讓·布裏丹（jean buridan）的《詭辯》中的例子，表述如下：
沒有人相信此語句。
如果這個語句是真的，則沒有人相信它，於是沒有人“知道”它。如果這個語句是假的，則至少有一個人相信它，但是沒有人（無論相信者還是不信者）“知道”它，因為它是假的。因此，任何人都不可能“知道”這個語句是真的！
你相信下麵這個語句嗎？
你不相信此語句。
你相信這個語句是愚蠢的，因為這意味著你相信你不相信它。但是如果你不相信它，那麽你有充分的理由相信它，因為它是真的……如果以上分析令你相信它，那麽你馬上又會陷入困境。相信它是荒唐的，整個推理又得重來一遍。奇怪的是，關於這個語句，你無法站在一個穩定的立場上。然而，在任何一個瞬間，一個了解你全部思想的、全知的存在者可以說出你是否相信它。
這個語句的反麵（“你相信此語句”）說出了笛卡兒的“我思故我在”的要旨。隻要你相信這個語句，那麽它就是真的。如果你不相信它，那麽它就是假的，而且你有非常充分的理由不相信它。無論你對這個語句持什麽立場，你都是正確的。
“知道者悖論”比這還要奇怪。這個悖論的核心是如下斷言（與意外絞刑悖論中法官的陳述類似）：
沒有人知道這個語句。
如果它是真的，那麽沒有人“知道”它。如果它是假的，則立刻導致矛盾：有人“知道”它，但是很明顯，沒有人可以“知道”一個錯誤。因而，這個語句不是假的。它是毫無疑問的事實，但是從來沒有人“知道”它！ 蓋梯爾反例
盡管三重理由給出的三條標準已經導致悖論，它們還不構成充分條件。滿足這三個條件還不能保證“知道”。我們有一個合理的、真實的觀念，但是並不“知道”我們相信的東西——這是有可能的。這些悖論性的情況被稱為“蓋梯爾反例”，得名於美國哲學家埃德蒙·蓋梯爾（edmund gettier），此人在1963年的一篇論文中討論了這些例子。
當反例應用於歸納概括時，是對一個命題或一段論證的反駁。蓋梯爾反例（通常）是一個虛構的場景，用來說明傳統的三條標準並不必然導致“知道”。如果說前文提到的靈學家的例子屬於“錯誤的理由導致正確的結論”，那麽蓋梯爾反例的核心在於“正確的理由導致正確的結論，但是這些理由無法生效”。這種類型的錯誤困擾了哲學家（以及作家）很長時間。典型的蓋梯爾反例有一個歐·亨利（o. henry）風格的牽強的巧合。
在蓋梯爾之前，柏拉圖在一篇蘇格拉底對話錄（《泰阿泰德》）中已預見了這個問題。他討論了一個伶牙俐齒的律師，這個律師的口才足以令陪審團相信一個有罪的委托人是無辜的。假定委托人是無辜的。陪審團相信這個委托人是無辜的，而且他們可以舉出他們剛聽到的有效的證據。然而，假如這個委托人實際上是有罪的，陪審團在卓越的辯護的催眠之下，同樣會欣然相信委托人的無辜。柏拉圖主張，他們的“知道”是假“知道”，實際上他們並不“知道”委托人是無辜的。
蓋梯爾最初的例子之一是這樣的：史密斯和瓊斯到一個公司去應聘一個職務。史密斯剛和公司的總裁談過話，被告知瓊斯將得到這份工作。史密斯相信瓊斯將得到這份工作，而且有合理的理由。史密斯還相信瓊斯的口袋裏有10枚硬幣，因為剛才他看見瓊斯為了找一枚25美分的硬幣倒空了自己的口袋，然後把10枚硬幣放回口袋。此後史密斯一直盯著瓊斯，確信瓊斯既沒有把硬幣再拿出來，也沒放入新的硬幣。
史密斯在心裏胡思亂想：“看起來，口袋裏有10枚硬幣的人將得到這份工作。”他相信這一點是合理的，因為這是從“瓊斯將得到這份工作”和“瓊斯的口袋裏有10枚硬幣”推出的邏輯結論。
蓋梯爾認識到，這些觀念可能是錯誤的，然而史密斯依然可能是正確的。假定史密斯得到了這份工作（總裁改了主意），而且瓊斯的口袋裏實際上有11枚硬幣（有1枚卡在了口袋的襯裏上），非但如此，史密斯的口袋裏也有10枚硬幣。於是，“口袋裏有10枚硬幣的人將得到這份工作”是正確的。但是，如果我們說史密斯“知道”這一點，這是荒唐的——史密斯不過是蒙對了。
蓋梯爾反例的斧鑿之痕不一定總是如此明顯。某人吃完午飯回來問你幾點了，你看了一眼自己的表，答道：2時14分。你相信此時是2時14分。你的觀念當然是合理的：你的表很貴，一直走得很準，而且（出於對精確時間的癡迷）你每天晚上都根據官方廣播電台對表，把手表時間校準到秒。實際上，此時確實是2時14分，但是你不知道的是，昨晚你的表停了，指針停在了淩晨2時14分的位置上。你在此之前一直沒看表，直到事隔整整12個小時，出於偶然，壞表恰好指示了正確的時間。
另一個例子：你到盧浮宮去看《蒙娜麗莎》。你在100張畫中認出了這幅畫，你與“蒙娜麗莎”同處一室，為此你激動不已。後來你得知，博物館的管理人員得到消息，有人計劃偷這幅畫。於是，在你參觀盧浮宮那天，管理人員用一副傑出的複製品替代了真跡。但是，你確實與達·芬奇的這幅傑作同處一室，因為真跡就隱藏在附近一幅不值錢的畫的背後，那是竊賊最不容易發現的地方。
在科學史上也有蓋梯爾反例。一個例子是，煉金術士相信金屬可以變成黃金。這個觀念不僅以單純的直覺為基礎，煉金術士最早把關於物質的知識係統化，他們正確地認識到，某種物質通過化學反應可以轉變為另一種完全不同的物質。他們進一步發現，世界不是無限多樣的，而是由相對較少的一些基本物質構成的。既然紅汞可以變成汞，為什麽賤金屬不能變成黃金？看來，唯一的問題就是找到正確的配方。
即使在今天看來，這個猜想也有一定道理，這個猜想隻不過碰巧是錯誤的。紅色的、易碎的紅汞可以變化為銀色的液體水銀，是因為紅汞是汞和硫（兩種元素）的化合物。如果黃金是由普通元素構成的化合物，或者某些普通物質是由金和其他東西構成的化合物，那麽把普通物質變成黃金就是可能的。不幸的是，金是一種元素，而且沒有哪種普通物質是金的化合物。化學家可以從某些東西（比如說氯化金）中提煉黃金，但是氯化金比黃金本身還稀有。
盡管如此，事實上在原子反應中，其他元素可以轉化為金（或者任何其他元素），而煉金術士對原子反應一無所知。煉金術士有合理、正確的觀念，但說他們“知道”其他元素可以轉化為金，顯然是不對的。
對蓋梯爾反例的一種反應是，這些例子不過是“從錯誤的理由得出正確的結論”這種情況的特例。在每個例子中，所謂“合理”的觀念都不是毫無疑問的合理，“很可能”與“確定”被混為一談。
在史密斯找工作的例子裏，史密斯與公司總裁的對話並未提供足夠充分的理由令他相信“瓊斯將得到這份工作”。這個理由足以為“瓊斯將得到這份工作”分配一個高概率，但並不足以把它當作確切的事實來相信。史密斯應當已經意識到了，對方可能故意放出假消息以誤導求職者，幹擾他對機會的判斷。
另一方麵，即使像外部世界的存在這樣確切無疑的觀念，也可以設計成蓋梯爾反例的情況。此時此刻，你最能確定的是什麽？也許你非常確信，此刻這本書就放在你麵前。但是你有可能是一顆“缸中之腦”。一個實驗室的看門人在打掃衛生的時候，把一本書放在你麵前，由於一個極巧的巧合，彼書就是此書。
要點在於，如果我們要求“合理”的觀念必須是能夠確切無疑地相信，那麽我們定義“知道”的工作就會癱瘓。假定我們把確切無疑作為一條標準，我們就需要掌握確切無疑的理由。更糟糕的是，在外部世界中，沒有任何東西是不可辯駁地確定的。如果我們為了“知道”某事必須百分之百地確切，那麽我們就不可能“知道”任何事（甚至包括我們有理由相信的、真實的事）。 第四個條件
人們付出了巨大的努力去尋找第四個條件。第四個條件應當補充前三個條件，確保我們“知道”。它不僅需要消除所有的蓋梯爾反例，而且應當禁止更加奇異的反例出現。
明顯正確的、令所有人欣然接受的第四個標準尚未被發現。在確立第四條標誌的幾種嚐試中，得到最充分討論的一種觀點認為，合理的真觀念同時必須是不可失效的——它不能因環境條件的弱化而失效。
在蓋梯爾反例中，假“知道”的當事人這時候會敲著自己的腦袋說：“當時我要是知道就好了！”他們本可以避免錯誤，如果知道——或者僅僅相信——某些特定的信息的話（畫已經被拿走了，表已經停了，等等）。這些使他們的觀念失效的事實被稱為“敗因”。如果這些當事人相信敗因，他們就沒有合理的理由相信那些悖論性的真命題了。
此刻是下午2時14分，你看了一眼自己的表，相信此刻是下午2時14分；你同樣相信昨晚你的表停了，再也沒走過。這樣的話，你相信此刻是下午2時14分就是不合理的。這是不合理的，因為敗因已經徹底推翻了最初的關於此刻的時間的證據（你的表指向2時14分），現在你的表顯示什麽時間已經無關緊要了。不可失效性條件要求，諸如此類的環境條件的弱化不會出現。
沒有人真正知道，什麽時候一個觀念會受到一個這樣的敗因的威脅。不可失效性條件也許可以滿足第四個條件的理論需要，但是不能幫助我們避免蓋梯爾的假“知道”。 囚徒和蓋梯爾
現在我們回到意外絞刑悖論。我們可以從三重理由出發做出論證：囚徒的“知道”是一個假象。奎因認為，囚徒（或者律師）的全部推理都是錯誤的。就連第一個推理（囚徒不能在最後一天被絞死）也是無效的。
當法官說囚徒不可能預知行刑的日期時，很明顯，他的意思是說，一個完全遵循邏輯思維的囚徒將無法確切地推出行刑日期。一個普通的、不那麽遵循邏輯思維的囚徒可能擁有更大的自由空間，他可能憑直覺確定一個日子，甚至有可能猜對（一個不合理的但正確的觀念）。囚徒無法選擇行刑日期，這足以說明囚徒不是真知道，隻是猜對了。如果法官的命令確實有什麽意義的話，其意義就在於禁止僅僅憑借推理確定日期的可能性。
為簡單起見，我們假定行刑日期隻能在兩個日子中做出選擇。假設囚徒的論證是有效的，他可以根據邏輯確定，為了奉行法官的指示，他一定會在星期六被處死。劊子手（此人和囚徒一樣聰明）同樣可以推出這個結論。這樣的話，他就沒有理由在星期六而非星期日行刑了。為什麽呢？囚徒預測星期六是行刑日（根據歸謬法假定這個前提），但是，即使由於某個奇跡，囚徒沒有在星期六被絞死，他也可以推出行刑將發生在星期六。這就使得劊子手沒有理由傾向於選擇某一天而非另一天。如果他在星期六行刑，他會受到譴責；如果他不在星期六行刑，他也會受到譴責。
因此，劊子手可以在兩個日子裏自由選擇行刑日。這意味著，囚徒推出他將在星期六被絞死的推理是錯誤的。
如果我們願意，我們可以假定囚徒推出星期日是唯一合乎邏輯的行刑目。但是這使得劊子手有同樣的理由在星期六行刑，這同樣說明囚徒的推理是錯誤的。
以上分析導致了兩個並列的蓋梯爾反例。假定囚徒在星期六被絞死。表麵看來，囚徒似乎是正確的。囚徒的觀念是合理的真觀念，然而，這並非真正的預先知道。囚徒沒有意識到他的觀念的敗因：他有同樣合理的理由相信行刑日是星期日。如上所述，如果假定囚徒必須在星期六被絞死，則推出他同樣可以在另一天被絞死。囚徒的觀念中的敗因就是觀念本身。
意外絞刑悖論是對演繹推理的一個警示。囚徒的推論是：他不可能在星期日被絞死，因此星期六是唯一的可能。致命的錯誤在於，他以為排除了不可能的情況就可以保證留下其他的可能情況。但有時所有的可能性都導致矛盾。
律師的結論是法官的命令不可能得到執行，他的觀點更加片麵。律師和囚徒都沒發現下一步更為殘酷的推論：如果囚徒相信法官的命令不可能得到執行，那麽劊子手可以在任何一天絞死他，甚至可以選擇最後一天，而且絞刑將是意外的。
[1] 阿列夫零是集合論中的術語，讀者可以把這個詞大致理解為無窮大。——譯者注
[2] 直譯原文應為“不能以少於19個音節定義的最小整數”，在英語中這個詞組恰好包括18個音節。——譯者注
[3] 關於“知道”的研究至今尚無公認的結果。——譯者注
[4] 有許多公式最初可以產生質數，但算過一些值之後會失敗。最著名的例子之一是n2–79n+1 601，直到n取80之前，這個公式一直產生質數，但是當n取80時就不是質數了。這就是在數學中根據歸納得出概括命題的危險。
[5] 艾倫·l·麥凱（n l. mackay）對此的回應是：“既然曾經生活過的物理學家中的百分之九十現在依然健在，為什麽我們還是在產生新的思想和觀點呢？”