第13章 直言命題和直接推理
邏輯思維簡易入門（原書第2版） 作者：加裏·西伊 / 蘇珊娜·努切泰利 投票推薦 加入書簽 留言反饋
什麽是直言命題
直言命題
直言命題是表征事物類之間的包含或不包含關係的命題，如：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-2 沒有哲學家是聰明人。
或者類的部分之間，如：
例13-3 有些哲學家是聰明人。
或類的部分與另一個類的全部之間，如：
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
有四種類之間的關係與直言命題相關：
一個類的全部包含在另一個類中，完全包含。
兩個類完全排斥，完全不包含。
一個類的部分包含在另一個類之中，部分包含。
一個類的部分排除在另一個類的全部外延之外，部分不包含。
上述直言命題的例子中，“哲學家”是主項，“聰明人”是謂項。這些是直言命題的邏輯，而非語形（語法）主謂項。它們分別指謂一個類：每個類表達的是其元素的共僅屬性。因此，“哲學家”指謂哲學家的類，“聰明人”指謂聰明人的類。
直言命題例13-1～例13-4說明了“哲學家”類與“聰明人”類之間的包含或不包含關係。這些關係可由下列方式表示：
例13-1a 所有哲學家都是聰明人。
例13-2a 沒有哲學家是聰明人。
例13-3a 有些哲學家是聰明人。
例13-4a 有些哲學家不是聰明人。
在亞裏士多德（公元前384—公元前322）創建的傳統邏輯中，表示直言命題邏輯形式的標準符號如下：“s”表示主項，“p”表示謂項。使用這些符號，上述直言命題的邏輯形式是：
1. 所有s都是p。
2. 沒有s是p。
3. 有s是p。
4. 有s不是p。
傳統邏輯中，隻有具有上述邏輯形式的陳述句才是直言命題。這些命題總是表示上文提及的四種類之間的關係之一，現在，“s”和“p”代表的就是主謂項所表示類。類之間的關係參見專欄13-1。我們也可以使用圓圈圖示這些關係，如圖13-1所示。
圖 13-1
注意，前兩個圖中的“s”和“p”表示類，另兩個圖中的x表示s中至少有一個個體。如果“p”至少包含s的一個元素，那就等價於“有s是p”。如果s中至少有一個元素不屬於p，那就等價於“有s不是p”。
專欄13-1 直言命題中類的關係
例1 表示的是 s的全部包含在p中。
例2 表示的是s和p完全排斥。
例3 表示的是部分s包含在p中。
例4 表示的是部分s排除在p之外。
標準形式
上述例13-1～例13-4是直言命題的標準形式，它們都由特定的組成部分構成。主項、謂項（不是語法上的，而是邏輯上的）當然是其組成部分。另一個組成部分是所謂的“量”：表達部分或者全部包含，或者不包含。例13-1和例13-2使用的是全稱量項，“所有”和“沒有”。例13-3和例13-4使用的是特稱量項，“有些”。標準的直言命題還有“質”：它們是肯定形式還是否定形式，取決於是否包含否定詞。例13-1和例13-3是肯定形式，例13-2和例13-4是否定形式。最後一個組成部分是或單數、或複數的係動詞。以上這些就是標準直言命題的基本組成部分。
任意標準直言命題包括如下組成部分：
（1）量。
（2）質。
（3）主項和謂項。
（4）連接主謂項的聯項。
任意給定直言命題，可以依據其量詞種類和是否出現否定詞來確定它的類型。正如表13-1所示，存在四種標準直言命題，每一個都具有獨特的邏輯形式──全稱肯定、全稱否定、特稱肯定和特稱否定。
在傳統邏輯中，大寫字母“a”、“e”、“i”、“o”指稱四類直言命題。每個字母都是一類命題的簡稱。這些字母是傳統邏輯學家依據拉丁字母affirmo（我肯定）以及nego（我否定）發明的。每個單詞的第一個元音表示全稱，即“a”表示全稱肯定，“e”表示全稱否定；第二個元音表示特稱命題，即“i”表示特稱肯定，“o”表示特稱否定。下文就使用字母表示四種直言命題。重新考察前文提到的例子：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-2 沒有哲學家是聰明人。
例13-3 有些哲學家是聰明人。
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
這分別是a、e、i、o命題。
非標準直言命題
當然，很多命題都不是標準形式，也就是說，僅有一部分命題明確地包含了a、e、i、o命題中的所有組成部分。然而，通過修改可能會把許多不標準的直言命題翻譯成上述標準形式之一。例如，例13-5就可以翻譯為例13-5a這一a命題：
例13-5 眼鏡蛇很危險。
例13-5a 所有眼鏡蛇都很危險。
“每一個”、 “任何一個”、“所有事物”、“所有人”等量詞都是全稱的，邏輯上等價於“所有”。注意，如例13-5那樣，全稱量詞通常會被省略。如果命題需要翻譯成標準形式，那麽省略的量詞必須明確填寫。除此之外，特定條件句也可以翻譯成a命題。說所有眼鏡蛇是危險的，邏輯等價於：
例13-5b 如果某物是眼鏡蛇，那麽就很危險。
因此，當你遇到例13-5b這類命題時，你一定要把它翻譯成a命題。記住，任何看起來像全稱肯定的命題，其省略的是“所有”，除非仔細解讀之後是非全稱的。例如，
例13-6 狗在晚上叫。
它就不能翻譯為標準的a命題，隻能譯成i命題：
例13-6a 有些狗在晚上叫。
盡管例13-6a聽起來比較怪，但我們依據的是邏輯形式：把一個命題翻譯成標準形式通常都會有些奇怪。
那麽，不標準的全稱否定命題又是什麽情況呢？如：
例13-7 我們班沒有人玩縱橫拚字遊戲。
因為例13-7是e命題，我們可以把它翻譯為標準形式，如：
例13-7a 我們班沒有人玩縱橫拚字遊戲。
因為，一個條件句可以翻譯成e命題。“我的同學中沒有人玩縱橫拚字遊戲”等價於：
例13-7b 如果某人是我同學，那麽他就不玩縱橫拚字遊戲。
注意，一個能夠譯成e命題的條件句，其後件一定包含否定詞。現在考察下例：
例13-8 我同學中有人玩縱橫拚字遊戲。
它可以譯為i命題，如：
例13-8a 我的一些同學玩縱橫拚字遊戲。
也可以表達為：
例13-8b 玩縱橫拚字遊戲而且是我同學的人存在。
也就是說，如果不包含否定詞，任何關於“存在”和“有什麽”的命題都可以譯為i命題。如果這類命題確實包含否定詞，如：
例13-9 我同學中，有的不玩縱橫拚字遊戲。
它可以譯成“o”命題，如：
例13-9a 我的一些同學不玩縱橫拚字遊戲。
後麵將會仔細討論“存在預設”問題。但下一節，我們先考察與直言命題相關的推理。 直言命題的文恩圖示
我們可以用標準的文恩圖［由英國邏輯學家約翰·文恩（1834—1923）發明］表示四類直言命題。直言命題的文恩圖采用兩個相交的圓，左邊的圓指謂主項表示的類，右邊的圓指謂謂項表示的類。首先考察全稱肯定命題的文恩圖以及與之等價的一些記法。
例13-10 所有美國公民都是選民。
布爾符號：
s p=0。
a命題：
所有s都是p。
表示例13-10的文恩圖由兩個相交的圓構成，一個表示主項（“美國公民”），另一個表示謂項（“選民”），如圖13-2所示。
圖 13-2
從例13-10可以看出，主項所指謂類的所有元素都屬於謂項所指謂的類。s中的月牙部分表示沒有元素（不是選民的美國公民）。文恩圖中的陰影部分表示這個空間沒有元素。上圖中不是p的s是陰影部分，意思是，不是p的s的集合為空。這與例13-10所說的不是選民的美國公民是空類，或等價地說所有美國公民都是選民，是一致的。
上一頁首先使用的是英國數學家喬治·布爾（1815—1864）發明的代數符號，“s與非p”的交集為空，然後使用傳統邏輯符號，“所有s都是p”對例13-10進行了翻譯。兩種符號的意義可由要點中的文恩圖刻畫：“s與非p”的交集為空。
現考察一個全稱否定命題，例13-11。
例13-11 沒有美國公民是選民。如圖13-3。
布爾符號：
s p=0。
e命題：
沒有s是p。
圖 13-3
例13-11是全稱命題，其文恩圖中有一個空子類，即陰影部分：s與p相交的橄欖球形狀部分表示是選民的美國公民。例13-11所刻畫的是沒有這樣的選民：換句話說，斷定例13-11意味著是選民的美國公民這個類沒有元素。圖的左邊，例13-11的布爾表示“s p=0”告訴我們“s p”是空類。繼布爾符號之後，可以找到例13-11的傳統邏輯符號表示以及所屬的種類。需要記住的是，對於所有全稱直言命題（不管肯定的還是否定的），都存在一個表示空類的陰影部分。
接下來，考察特稱肯定命題。
例13-12 有些美國公民是選民。如圖13-4所示。
布爾符號：
s p≠0。
i命題：
有s是p。
圖 13-4
這次是特稱命題：關於類的部分的斷言。因此，上圖並沒有陰影，隻有x，表明存在一些元素。因為“有些”在邏輯上等價於“至少有一個”，即例13-12等價於：
例13-12a 至少有一個美國公民是選民。
在中間的球形空間寫上“x”，說明“s p”不是空類，而是有幾個元素（至少有一個）。圖上邊可以看到例13-11的布爾符號翻譯，“s p≠0”，即，“s p”這個子類非空，左邊還有傳統邏輯的符號表示。
最後是特稱否定命題。
例13-13 有些美國公民不是選民。如圖13-5所示。
布爾符號：
s p≠0。
o命題：
有s不是p。
圖 13-5
因為例13-13也是特稱命題，所以文恩圖中沒有陰影。“有些”又表示至少有一個，例13-13在邏輯上等價於：
例13-13a 至少有一個美國公民不是選民。
不是選民的美國公民這個類非空，即至少有一個元素──在s與非p的交集這個子類中有x。圖上邊的布爾翻譯指出“s與非p的交集非空”，布爾翻譯之後是傳統邏輯符號表示。
上述四個圖可以表示四種直言命題中類的不同關係。在第14章，我們將學習如何使用文恩圖檢查某些三段論的有效性。但首先，讓我們仔細考察任意直言命題的文恩圖所表示的幾個空間，如圖13-6所示。
圖 13-6
兩個相交的圓表示直言命題中兩類事物之間的關係──左邊指謂的是主項的類，右邊指謂的是謂項的類。兩個圓所形成的空間也確定了四個子類。兩圓重疊形成的中間區域為既是s又是p的元素所構成的類（同時是兩個類的元素所構成的類），符號表示為“s p”。左邊的月牙形表示是s但不是p的元素所構成的類，否定是通過p上麵的橫杠表示的。右邊的月牙形表示是p但不是s的事物所構成的類，否定由s上麵的橫杠表示。兩個圓外圍的空間表示既不是s又不是p的事物所構成的類。正如我們已經看到，我們能夠使用文恩圖中的空間表示四類直言命題中類的包含或不包含關係。我們可以考察以“美國公民”為主項，“選民”為謂項構成的四種具體命題。這些命題所表征的美國公民和選民兩個類之間的包含和不包含關係，可通過圖13-7中的文恩圖表示。
圖13-7 直言命題的文恩圖示
上圖可以表示4個子類：（1）是選民的美國公民；（2）不是選民的美國公民；（3）不是美國公民的選民（例如，在其他國家選舉的人）；（4）既不是選民又不是美國公民（例如，其他國家不投票的公民，以及亨利八世、尤利烏斯·愷撒，甚至艾弗爾鐵塔、大憲章、大峽穀等）。
對於每一種直言命題來說，都有一個可以說明其所涉及包含或不包含關係的文恩圖。底線如下。
表征一個直言命題的文恩圖可展示三個區域：相交的兩個圓的內部以及兩圓相交的區域。
a或e命題的文恩圖包含沒有元素的陰影部分。這類圖中沒有“x”。
i或o命題的文恩圖包含一個元素為“x”的區域。這類圖中沒有陰影部分。 對當方陣
傳統對當方陣
傳統的觀點是，上述4種直言命題之間的邏輯關係可以使我們進行特定的直接推理。現在學習這些包含一個前提的推理。首先來看下列傳統對當方陣所表示的直接推理，如圖13-8所示。
圖13-8 傳統對當方陣
傳統對當方陣表示的是兩個直言命題之間的關係，可以概括如下，如表13-2所示。
現逐一討論這些關係。
矛盾關係 位於方陣對角線位置的兩類命題構成矛盾關係。具有矛盾關係的命題不可能具有相同的真值：如果一個為真，那麽另一個就為假；反之亦然。a與o，以及e與i具有相反的真值，隻要兩者的主謂項相同。因此，如果例13-1為真，那麽例13-4為假：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
另一方麵，如果例13-1為假，那麽邏輯上等價於例13-4為真。類似地，如例13-3。
例13-3 有些哲學家是聰明人。
如果例13-3是真的（至少有一位哲學家是聰明人），那麽例13-2就是假的。
例13-2 所有哲學家都不是聰明人。
反過來說，如果例13-3為假，那麽例13-2就為真。正如上文所述，當從一個命題的矛盾推出這個命題的真值時，就進行了一次有效的直接推理：如果它的前提為真，那麽結論一定為真。但是，矛盾關係推理僅是傳統邏輯學家接受的有效推理之一，還存在其他有效推理。
專欄13-2 矛盾關係
反對，下反對和差等關係 依據傳統對當方陣，在特定預設下，依據下列邏輯關係的推理也是有效的：
具有反對關係的命題不能同時為真，但可以同時為假。例如，依據反對關係，如果例13-14為真，那麽可以推出例13-15為假：
例13-14 所有銀行家都是謹慎的投資者。
例13-15 所有銀行家都不是謹慎的投資者。
這是因為這類命題不能同真，但可以同假（上述命題事實上也都是假的）。
但反對關係與下反對關係不同，兩者都不同於矛盾關係。具有下反對關係的命題可以同真，但不能同假。依據下反對關係，如果例13-16假，那麽例13-17真：
例13-16 有些學生是素食主義者。
例13-17 有些學生不是素食主義者。
這類直言命題不能同假，但能同真。
最後是稍微複雜的差等關係，因為真值的變化取決於是從全稱到特稱還是從特稱到全稱。邏輯上，a與同一素材的i命題是差等關係，是指：如果a命題為真，那麽i命題一定為真；如果i命題為假，那麽a命題一定為假。e與同一素材的o命題也具有類似關係，兩者是差等關係是指：如果e命題為真，那麽o命題一定為真；而且如果o命題為假，那麽e一定為假。兩種情況中，全稱命題稱為“上位式”，同質的特稱命題稱為“下位式”。
差等關係是以下命題之間的邏輯關係：
（1）a和i（a是上位式，i 是下位式）；
（2）e和o（e是上位式，o是下位式）。
在這一關係中：
（1）真往下傳遞（從上位式傳向下位式）；
（2）假往上傳遞（從下位式傳向上位式）。
讓我們像傳統邏輯學家那樣依據差等關係進行推理。假設例13-18為真，那麽例13-19一定為真。
例13-18 所有演奏長號的都是音樂家。
例13-19 有些演奏長號的是音樂家。
例13-18和例13-19表明，“真”往下傳遞。同時，因為“有些長號演奏者不是音樂家”為假，可以推出“所有長號演奏者都不是音樂家”為假──這表明“假”往上傳遞。但從例13-14這樣的假上位式不能推出一個假下位式，因為有些銀行家是謹慎的投資者是真的。
例13-14 所有銀行家都是謹慎的投資者。
從例13-17這個真下位式也不能推出一個真上位式。因為，所有學生都不是素食主義者是假的：
例13-17 有些學生不是素食主義者。
真值規則和傳統對當方陣 現在，總結傳統對當方陣中的所有關係，以及可以進行直接推理的規則，如下：
矛盾關係：具有矛盾關係的命題不能具有相同的真值。（如果一個為真，那麽另一個一定為假；反之亦然）
反對關係：具有反對關係的命題不能同真，但可以同假。
下反對關係：具有下反對關係的命題不能同假，但可以同真。
從上位式推導下位式的差等關係（即，從全稱命題推導同一素材的特稱命題）：
如果上位式真，那麽下位式一定為真；
如果上位式假，那麽下位式真值不定。
從下位式推導上位式的差等關係（即，從特稱命題推導同一素材的全稱命題）：
如果下位式真，那麽上位式真值不定；
如果下位式假，那麽上位式一定為假。
已知傳統對當方陣中的矛盾、反對、下反對以及差等關係，依據左邊列表中假定的命題真值，我們能夠推出右邊列表中命題的真值。
存在預設
盡管依據反對、下反對、差等關係進行的推理被傳統對當方陣斷定為有效，但我們進行這類推理的能力卻被全稱命題和特稱命題的一個有意義的差異削弱了：i和o有存在預設，a和e沒有。也就是說，i和o命題含蓄地預設了它們的主項所指謂的個體存在。因為“有的”在邏輯上等價於“至少有一個”，因此形如例13-20這類命題在邏輯上等價於例13-20a：
例13-20 有些學生是素食主義者。
例13-20a 有些學生不是素食主義者。
提請注意的是，“至少有一隻貓”等價於“貓存在”。類似地，形如例13-21和例13-21a這兩個相互等價的o命題也預設有些貓是存在的：
例13-21 有些貓不是貓科動物。
例13-21a 至少存在一隻不是貓科動物的貓。
另一方麵， a與e命題邏輯上等價於條件句：例13-22等價於例13-22a，而例13-23等價於例13-23a。
例13-22 所有貓都是貓科動物。
例13-22a 如果任何事物是一隻貓，那麽它就是貓科動物。
例13-23 沒有貓是貓科動物。
例13-23a 如果任何事物是一隻貓，那麽它就不是貓科動物。
以這種方式理解，一個全稱的直言命題就沒有存在預設，因為它等價於一個條件句，這種複合命題僅在前件為真、後件為假的情況下才為假。因此，當且僅當，一事物是貓但不是貓科動物，例13-22a才為假。而當且僅當，一事物是貓，而且是貓科動物時，例13-23a才為假。如果貓不存在，這些條件句的前件都為假，而整個條件句都是真的（無論後件是真，還是假）。
因此，反對關係推理就被削弱了：如此理解全稱命題之後，當他們的主項指謂空類（沒有指稱）時，具有反對關係的命題就為真。考察例13-24，它與例13-24a等價。
例13-24 所有獨角獸都是易受驚嚇的生物。
例13-24a 如果任何事物是獨角獸，那麽它就是易受驚嚇的生物。
因為獨角獸不存在，例13-24的前件為假，整個條件句為真。現在考察與它具有反對關係的另一個命題，例13-25與例13-25a等價：
例13-25 所有獨角獸都不是易受驚嚇的生物。
例13-25a 如果任何事物是獨角獸，那麽它就不是易受驚嚇的生物。
還是因為獨角獸不存在，例13-25a的前件為假，整個條件句為真。顯然例13-24和例13-25可以同時為真！這可以推出，除非我們假設真直言命題的主項非空，否則我們不可能推出與之反對的另一個命題為假。
那麽，具有下反對關係的命題又如何呢？這涉及了i和o命題，從現代邏輯的角度看，它們確實有存在預設。盡管依據傳統對當方陣，具有下反對關係的兩個命題不能同假，但從現代邏輯的角度看，它們可以同假。比較例13-26與例13-26a。
例13-26 有些獨角獸是易受驚嚇的生物。
例13-26等價於例13-26a。
例13-26a 獨角獸存在並且是易受驚嚇的生物。
這樣解釋之後，例13-26為假，因為沒有獨角獸。比較例13-27與例13-27a。
例13-27 有些獨角獸不是易受驚嚇的生物。
例13-27等價於例13-27a。
例13-27a 獨角獸存在並且它們不是易受驚嚇的生物。
因為沒有獨角獸，所以例13-27也是假的。因此，例13-26和例13-27同時為假。這可以推出結論：依據下反對關係不可能進行有效推理。
最後是差等關係。從上文可以看出，這個關係看起來也是非常可疑的。比如說，一個人怎麽可能從一個沒有存在預設的全稱命題推出一個具有存在預設的特稱命題呢？當然，如果它們的主項指謂的事物存在，例如長號演奏者、會計以及老虎，那麽從a到i以及從e到o的推理初看起來似乎沒有什麽問題。但涉及存在性成問題的事物時，差等關係推理可以導致謬誤，例如：
例13-28 1. 所有獨角獸不是易受驚嚇的生物。
2. 有些獨角獸不是易受驚嚇的生物。
因為例13-28中的結論與上述例13-26a等價，這個論證似乎已經預設了獨角獸存在！這一依據差等關係得出結論的方式失效了，因為它忽略了前提沒有存在預設而結論有存在預設的事實。
現代對當方陣
上文表明，需要限製依據傳統對當方陣進行的有效直言命題推理的範圍。正如圖13-9所示，現代方陣修改了傳統方陣，消除了反對、差等以及下反對，保留了有效的矛盾關係直接推理。矛盾關係在a和o，以及e與i之間成立，它們位於方陣對角線所標出的對立的角。
從如下現代方陣可以看出，命題與其矛盾命題的否定的兩點事實。第一，它們在邏輯上等價：如果位於一角的命題是真的，那麽其矛盾命題的否定一定為真；而且如果它是假的，那麽其矛盾命題的否定也一定為假。第二，它們互相推出：任何從一個命題到其矛盾命題的否定都是保值的，因此是有效的。
圖13-9 現代對當方陣
這是依據現代對當方陣，四類標準命題之中的一個命題與其矛盾命題的否定等價（互相推出）：
（1）a=非o
（2）e=非i
（3）i =非e
（4）o =非a
因此，已知（1），如果“所有橙子都是柑橘屬水果”為真，那麽“並非有的橙子不是柑橘屬水果”為真；反之亦然。但已知（4），如果“有些橙子不是柑橘屬水果”為真，那麽“所有橙子都是柑橘屬水果”一定為假，而“並非所有橙子都是柑橘屬水果”一定是真的。讀者可以嚐試練習其他的有效推理。底線是對所列命題，每一對都具有相同的真值：如果一個為真，另一個一定為真；如果一個為假，另一個一定為假。前者表明有效性，兩者結合就是邏輯等價。文恩圖與現代對當方陣是一致的。畢竟，隻有特稱命題才需要“x”說明主項指謂的類有元素（如果存在）。全稱命題從不要求指出有元素，隻需指出沒有即可（通過陰影）。
專欄13-3 邏輯等價式與有效性
邏輯等價
假設兩個命題等價，若一個為真，則另一個一定為真；而且，若一個為假，則另一個一定為假。這是因為它們的真值條件相同。因此，邏輯等價的命題具有相同真值：或者同真，或者同假。所以，如果可以替換的話，其中一個可以在不改變它們所出現的複合命題真值的前提下替換另一個。例如，一個命題“p”在邏輯上等價於“並非非p”。因此，如果其中一個出現在更為複雜的表達式中，而且這個表達式又不在引號之中，那麽我們就可以在保證整個表達式真值不變的前提下，用另一個替換它。
有效性
假設兩個命題邏輯等價，若其中一個為真，則另一個一定為真。這就滿足了“推出”或“有效性”的定義：邏輯等價的命題可以互相推出。任何由等價命題構成的論證都是有效的。 其他直接推理
現在，我們學習另外三種使用直言命題的直接推理：換位法，換質法以及換質位法。有時，換位和換質位是從全稱推特稱，但這類形式的有效性卻需要預設全稱前提中的主項非空，即不能指稱美人魚和圓的方這些空類。
換位法
換位法是通過交換“被換位命題”的主謂項位置，但不改變量和質，從而推出“換位命題”的方法。因此，e命題的換位如下。
例13-29 所有suv都不是跑車。
例13-29a 所有跑車都不是suv。
被換位命題的主謂項位置改變了，但其質和量保持不變，依然是全稱否定。例13-29到例13-29a是有效推理：如果例13-29為真，那麽例13-29a一定為真（反之亦然）。類似地，通過換位，交換被換位命題的主謂項位置之後，從一個i命題能夠導出另一個換了位的i命題。例如，例13-30的換位命題是例13-30a：
例13-30 有些共和黨人是記者。
例13-30a 有些記者是共和黨人。
如果例13-30真，那麽例13-30a一定為真，反之亦然。因此這個推理是有效的，兩個命題在邏輯上等價。
然而，對於a命題，一個直接換位的推理將是無效的。因為，從例13-31顯然不能推出例13-31a：
例13-31 所有豬都是哺乳動物。
例13-31a 所有哺乳動物都是豬。
但a命題可以通過“限製”換位，因為從例13-31可以推出例13-31b。
例13-31b 有些哺乳動物是豬。
限製換位中，被換位命題的量在換位命題中受到了限製：一個a命題的有效換位是i命題。其中，前者的主謂項位置進行了交換，全稱量詞“所有”替換為非全稱量詞“有的”。
最後注意，o命題沒有有效換位。如果試圖對真命題例13-32進行換位，那麽將會得到假命題例13-32a：
例13-32 有些珍貴的石頭不是翡翠。
例13-32a 有些翡翠不是珍貴的石頭。
這證明了例13-32到例13-32a是無效推理。對於任意o命題，換位得到的直接推理犯了非法換位，這與從一個a命題換位得到另一個a命題所犯的謬誤相同。總之，換位法的規則如表13-3所示。通過換位得到的等價式和非等價式如圖13-10所示。
圖13-10 通過換位得到的等價式和非等價式
換質法
一個直言命題的換質命題是改變它的質（即從肯定到否定，或從否定到肯定），並且在其謂項的前麵增加“非”得到的。通過換質演繹出的命題稱為“換質命題”，而演繹出命題的那個命題稱為“被換質命題”。換質推論適用於所有命題。因此，依據換質法從例13-33這個a命題可以推出例13-33a。
例13-33 所有鷹都是鳥。
例13-33a 沒有鷹是非鳥。
例13-34這個e命題換質可以產生例13-34a。
例13-34 所有手機都不是大象。
例13-34a 所有手機都不是非大象。
例13-35這個i命題的換質命題是例13-35a。
例13-35 有些加利福尼亞人是衝浪者。
例13-35a 有些加利福尼亞人不是非衝浪者。
例13-36這個o命題的換質命題是例13-36a。
例13-36 有些流行病不是災難性的。
例13-36a 有些流行病是非災難性的。
在上述推論中，被換質命題的謂項被其補概念所替換。例如，對於議員這個類來說，其補類是由所有非議員的事物構成的，包括市長、醫生、砌磚者、飛機、蝴蝶、行星、郵票、惰性氣體等。馬的補類是非馬，也是一個廣泛而豐富的類。疾病的補類是非疾病類，如此等等。指謂任何這個補類的項稱為補項。
與換位不同，四類直言命題都可以換質。對於下列四類命題，從被換質命題導出換質命題的推理都有效，如表13-4所示。通過換質得到的等價式，如圖13-11所示。
圖13-11 通過換質得到的等價式
換質位法
換質位法允許我們交換一個命題主謂項的位置，並且分別在其前麵添加“非”，但量和質保持不變，從而推出一個結論。因此，例13-37進行換質位可以得到例13-37a。
例13-37 所有羊角麵包都是糕點。
例13-37a 所有非糕點都是非羊角麵包。
使用換質位，“所有s都是p”這一a命題在邏輯上等價於“所有非p都是非s”這一a命題。兩個命題邏輯等價就是具有相同的真值：如果例13-37為真，那麽例13-37a就為真。而且如果例13-37為假，那麽例13-37a就為假。正如專欄13-3所提到的，如果兩個命題在邏輯上等價，就可以從一個推出另一個：任何這種推論都是有效的。要想形象地表示例13-37和例13-37a之間的關係，可以參看圖13-12中的文恩圖（可以把圖中的s解釋為“羊角麵包”，p解釋為“糕點”）。
圖13-12 通過換質位得到的a型等價式和e型非等價式
對i進行換質位，得到的還是量與質都相同的i命題，後者的主謂項位置與前者不同，而且前麵都有“非”。例13-38的換質位命題是例13-38a：
例13-38 有些羊角麵包是糕點。
例13-38a 有些非糕點都是非羊角麵包。
但從圖13-12中的文恩圖可以看出，例13-38和例13-38a不等價。因此，任何依據換質位從例13-38到例13-38a的推論都不是有效的，犯了非法換質位謬誤。
e命題也存在一個非法換質位謬誤。但通過限製被換質位命題的量可以避免這個謬誤。也就是說，e的有效換質位命題是o，其主謂項的位置已經被交換，而且在兩個項前麵都添加了“非”。因此，對例13-39進行正確的換質位（參見圖13-13），限製其量、質保持不變，例13-39a是真的。
例13-39 沒有美洲豹是爬行動物。
例13-39a 有些非爬行動物不是非美洲豹。
圖13-13 通過換質位得到的i型不等價式和o型等價式
如果從例13-39無限製地換質位推出例13-40，那麽這個推理就是無效的。
例13-40 所有美洲豹都不是爬行動物；因此，所有非爬行動物都是非美洲豹。
o命題的換質位可以產生一個等價的o命題；因此總是有效的。因此，依據換質位從例13-41可以推出例13-42。
例13-41 有些田徑運動員不是跑步的。
例13-42 有些非跑步運動員不是非田徑運動員。
本節內容小結，如表13-5所示。
直言命題
直言命題是表征事物類之間的包含或不包含關係的命題，如：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-2 沒有哲學家是聰明人。
或者類的部分之間，如：
例13-3 有些哲學家是聰明人。
或類的部分與另一個類的全部之間，如：
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
有四種類之間的關係與直言命題相關：
一個類的全部包含在另一個類中，完全包含。
兩個類完全排斥，完全不包含。
一個類的部分包含在另一個類之中，部分包含。
一個類的部分排除在另一個類的全部外延之外，部分不包含。
上述直言命題的例子中，“哲學家”是主項，“聰明人”是謂項。這些是直言命題的邏輯，而非語形（語法）主謂項。它們分別指謂一個類：每個類表達的是其元素的共僅屬性。因此，“哲學家”指謂哲學家的類，“聰明人”指謂聰明人的類。
直言命題例13-1～例13-4說明了“哲學家”類與“聰明人”類之間的包含或不包含關係。這些關係可由下列方式表示：
例13-1a 所有哲學家都是聰明人。
例13-2a 沒有哲學家是聰明人。
例13-3a 有些哲學家是聰明人。
例13-4a 有些哲學家不是聰明人。
在亞裏士多德（公元前384—公元前322）創建的傳統邏輯中，表示直言命題邏輯形式的標準符號如下：“s”表示主項，“p”表示謂項。使用這些符號，上述直言命題的邏輯形式是：
1. 所有s都是p。
2. 沒有s是p。
3. 有s是p。
4. 有s不是p。
傳統邏輯中，隻有具有上述邏輯形式的陳述句才是直言命題。這些命題總是表示上文提及的四種類之間的關係之一，現在，“s”和“p”代表的就是主謂項所表示類。類之間的關係參見專欄13-1。我們也可以使用圓圈圖示這些關係，如圖13-1所示。
圖 13-1
注意，前兩個圖中的“s”和“p”表示類，另兩個圖中的x表示s中至少有一個個體。如果“p”至少包含s的一個元素，那就等價於“有s是p”。如果s中至少有一個元素不屬於p，那就等價於“有s不是p”。
專欄13-1 直言命題中類的關係
例1 表示的是 s的全部包含在p中。
例2 表示的是s和p完全排斥。
例3 表示的是部分s包含在p中。
例4 表示的是部分s排除在p之外。
標準形式
上述例13-1～例13-4是直言命題的標準形式，它們都由特定的組成部分構成。主項、謂項（不是語法上的，而是邏輯上的）當然是其組成部分。另一個組成部分是所謂的“量”：表達部分或者全部包含，或者不包含。例13-1和例13-2使用的是全稱量項，“所有”和“沒有”。例13-3和例13-4使用的是特稱量項，“有些”。標準的直言命題還有“質”：它們是肯定形式還是否定形式，取決於是否包含否定詞。例13-1和例13-3是肯定形式，例13-2和例13-4是否定形式。最後一個組成部分是或單數、或複數的係動詞。以上這些就是標準直言命題的基本組成部分。
任意標準直言命題包括如下組成部分：
（1）量。
（2）質。
（3）主項和謂項。
（4）連接主謂項的聯項。
任意給定直言命題，可以依據其量詞種類和是否出現否定詞來確定它的類型。正如表13-1所示，存在四種標準直言命題，每一個都具有獨特的邏輯形式──全稱肯定、全稱否定、特稱肯定和特稱否定。
在傳統邏輯中，大寫字母“a”、“e”、“i”、“o”指稱四類直言命題。每個字母都是一類命題的簡稱。這些字母是傳統邏輯學家依據拉丁字母affirmo（我肯定）以及nego（我否定）發明的。每個單詞的第一個元音表示全稱，即“a”表示全稱肯定，“e”表示全稱否定；第二個元音表示特稱命題，即“i”表示特稱肯定，“o”表示特稱否定。下文就使用字母表示四種直言命題。重新考察前文提到的例子：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-2 沒有哲學家是聰明人。
例13-3 有些哲學家是聰明人。
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
這分別是a、e、i、o命題。
非標準直言命題
當然，很多命題都不是標準形式，也就是說，僅有一部分命題明確地包含了a、e、i、o命題中的所有組成部分。然而，通過修改可能會把許多不標準的直言命題翻譯成上述標準形式之一。例如，例13-5就可以翻譯為例13-5a這一a命題：
例13-5 眼鏡蛇很危險。
例13-5a 所有眼鏡蛇都很危險。
“每一個”、 “任何一個”、“所有事物”、“所有人”等量詞都是全稱的，邏輯上等價於“所有”。注意，如例13-5那樣，全稱量詞通常會被省略。如果命題需要翻譯成標準形式，那麽省略的量詞必須明確填寫。除此之外，特定條件句也可以翻譯成a命題。說所有眼鏡蛇是危險的，邏輯等價於：
例13-5b 如果某物是眼鏡蛇，那麽就很危險。
因此，當你遇到例13-5b這類命題時，你一定要把它翻譯成a命題。記住，任何看起來像全稱肯定的命題，其省略的是“所有”，除非仔細解讀之後是非全稱的。例如，
例13-6 狗在晚上叫。
它就不能翻譯為標準的a命題，隻能譯成i命題：
例13-6a 有些狗在晚上叫。
盡管例13-6a聽起來比較怪，但我們依據的是邏輯形式：把一個命題翻譯成標準形式通常都會有些奇怪。
那麽，不標準的全稱否定命題又是什麽情況呢？如：
例13-7 我們班沒有人玩縱橫拚字遊戲。
因為例13-7是e命題，我們可以把它翻譯為標準形式，如：
例13-7a 我們班沒有人玩縱橫拚字遊戲。
因為，一個條件句可以翻譯成e命題。“我的同學中沒有人玩縱橫拚字遊戲”等價於：
例13-7b 如果某人是我同學，那麽他就不玩縱橫拚字遊戲。
注意，一個能夠譯成e命題的條件句，其後件一定包含否定詞。現在考察下例：
例13-8 我同學中有人玩縱橫拚字遊戲。
它可以譯為i命題，如：
例13-8a 我的一些同學玩縱橫拚字遊戲。
也可以表達為：
例13-8b 玩縱橫拚字遊戲而且是我同學的人存在。
也就是說，如果不包含否定詞，任何關於“存在”和“有什麽”的命題都可以譯為i命題。如果這類命題確實包含否定詞，如：
例13-9 我同學中，有的不玩縱橫拚字遊戲。
它可以譯成“o”命題，如：
例13-9a 我的一些同學不玩縱橫拚字遊戲。
後麵將會仔細討論“存在預設”問題。但下一節，我們先考察與直言命題相關的推理。 直言命題的文恩圖示
我們可以用標準的文恩圖［由英國邏輯學家約翰·文恩（1834—1923）發明］表示四類直言命題。直言命題的文恩圖采用兩個相交的圓，左邊的圓指謂主項表示的類，右邊的圓指謂謂項表示的類。首先考察全稱肯定命題的文恩圖以及與之等價的一些記法。
例13-10 所有美國公民都是選民。
布爾符號：
s p=0。
a命題：
所有s都是p。
表示例13-10的文恩圖由兩個相交的圓構成，一個表示主項（“美國公民”），另一個表示謂項（“選民”），如圖13-2所示。
圖 13-2
從例13-10可以看出，主項所指謂類的所有元素都屬於謂項所指謂的類。s中的月牙部分表示沒有元素（不是選民的美國公民）。文恩圖中的陰影部分表示這個空間沒有元素。上圖中不是p的s是陰影部分，意思是，不是p的s的集合為空。這與例13-10所說的不是選民的美國公民是空類，或等價地說所有美國公民都是選民，是一致的。
上一頁首先使用的是英國數學家喬治·布爾（1815—1864）發明的代數符號，“s與非p”的交集為空，然後使用傳統邏輯符號，“所有s都是p”對例13-10進行了翻譯。兩種符號的意義可由要點中的文恩圖刻畫：“s與非p”的交集為空。
現考察一個全稱否定命題，例13-11。
例13-11 沒有美國公民是選民。如圖13-3。
布爾符號：
s p=0。
e命題：
沒有s是p。
圖 13-3
例13-11是全稱命題，其文恩圖中有一個空子類，即陰影部分：s與p相交的橄欖球形狀部分表示是選民的美國公民。例13-11所刻畫的是沒有這樣的選民：換句話說，斷定例13-11意味著是選民的美國公民這個類沒有元素。圖的左邊，例13-11的布爾表示“s p=0”告訴我們“s p”是空類。繼布爾符號之後，可以找到例13-11的傳統邏輯符號表示以及所屬的種類。需要記住的是，對於所有全稱直言命題（不管肯定的還是否定的），都存在一個表示空類的陰影部分。
接下來，考察特稱肯定命題。
例13-12 有些美國公民是選民。如圖13-4所示。
布爾符號：
s p≠0。
i命題：
有s是p。
圖 13-4
這次是特稱命題：關於類的部分的斷言。因此，上圖並沒有陰影，隻有x，表明存在一些元素。因為“有些”在邏輯上等價於“至少有一個”，即例13-12等價於：
例13-12a 至少有一個美國公民是選民。
在中間的球形空間寫上“x”，說明“s p”不是空類，而是有幾個元素（至少有一個）。圖上邊可以看到例13-11的布爾符號翻譯，“s p≠0”，即，“s p”這個子類非空，左邊還有傳統邏輯的符號表示。
最後是特稱否定命題。
例13-13 有些美國公民不是選民。如圖13-5所示。
布爾符號：
s p≠0。
o命題：
有s不是p。
圖 13-5
因為例13-13也是特稱命題，所以文恩圖中沒有陰影。“有些”又表示至少有一個，例13-13在邏輯上等價於：
例13-13a 至少有一個美國公民不是選民。
不是選民的美國公民這個類非空，即至少有一個元素──在s與非p的交集這個子類中有x。圖上邊的布爾翻譯指出“s與非p的交集非空”，布爾翻譯之後是傳統邏輯符號表示。
上述四個圖可以表示四種直言命題中類的不同關係。在第14章，我們將學習如何使用文恩圖檢查某些三段論的有效性。但首先，讓我們仔細考察任意直言命題的文恩圖所表示的幾個空間，如圖13-6所示。
圖 13-6
兩個相交的圓表示直言命題中兩類事物之間的關係──左邊指謂的是主項的類，右邊指謂的是謂項的類。兩個圓所形成的空間也確定了四個子類。兩圓重疊形成的中間區域為既是s又是p的元素所構成的類（同時是兩個類的元素所構成的類），符號表示為“s p”。左邊的月牙形表示是s但不是p的元素所構成的類，否定是通過p上麵的橫杠表示的。右邊的月牙形表示是p但不是s的事物所構成的類，否定由s上麵的橫杠表示。兩個圓外圍的空間表示既不是s又不是p的事物所構成的類。正如我們已經看到，我們能夠使用文恩圖中的空間表示四類直言命題中類的包含或不包含關係。我們可以考察以“美國公民”為主項，“選民”為謂項構成的四種具體命題。這些命題所表征的美國公民和選民兩個類之間的包含和不包含關係，可通過圖13-7中的文恩圖表示。
圖13-7 直言命題的文恩圖示
上圖可以表示4個子類：（1）是選民的美國公民；（2）不是選民的美國公民；（3）不是美國公民的選民（例如，在其他國家選舉的人）；（4）既不是選民又不是美國公民（例如，其他國家不投票的公民，以及亨利八世、尤利烏斯·愷撒，甚至艾弗爾鐵塔、大憲章、大峽穀等）。
對於每一種直言命題來說，都有一個可以說明其所涉及包含或不包含關係的文恩圖。底線如下。
表征一個直言命題的文恩圖可展示三個區域：相交的兩個圓的內部以及兩圓相交的區域。
a或e命題的文恩圖包含沒有元素的陰影部分。這類圖中沒有“x”。
i或o命題的文恩圖包含一個元素為“x”的區域。這類圖中沒有陰影部分。 對當方陣
傳統對當方陣
傳統的觀點是，上述4種直言命題之間的邏輯關係可以使我們進行特定的直接推理。現在學習這些包含一個前提的推理。首先來看下列傳統對當方陣所表示的直接推理，如圖13-8所示。
圖13-8 傳統對當方陣
傳統對當方陣表示的是兩個直言命題之間的關係，可以概括如下，如表13-2所示。
現逐一討論這些關係。
矛盾關係 位於方陣對角線位置的兩類命題構成矛盾關係。具有矛盾關係的命題不可能具有相同的真值：如果一個為真，那麽另一個就為假；反之亦然。a與o，以及e與i具有相反的真值，隻要兩者的主謂項相同。因此，如果例13-1為真，那麽例13-4為假：
例13-1 所有哲學家都是聰明人。
例13-4 有些哲學家不是聰明人。
另一方麵，如果例13-1為假，那麽邏輯上等價於例13-4為真。類似地，如例13-3。
例13-3 有些哲學家是聰明人。
如果例13-3是真的（至少有一位哲學家是聰明人），那麽例13-2就是假的。
例13-2 所有哲學家都不是聰明人。
反過來說，如果例13-3為假，那麽例13-2就為真。正如上文所述，當從一個命題的矛盾推出這個命題的真值時，就進行了一次有效的直接推理：如果它的前提為真，那麽結論一定為真。但是，矛盾關係推理僅是傳統邏輯學家接受的有效推理之一，還存在其他有效推理。
專欄13-2 矛盾關係
反對，下反對和差等關係 依據傳統對當方陣，在特定預設下，依據下列邏輯關係的推理也是有效的：
具有反對關係的命題不能同時為真，但可以同時為假。例如，依據反對關係，如果例13-14為真，那麽可以推出例13-15為假：
例13-14 所有銀行家都是謹慎的投資者。
例13-15 所有銀行家都不是謹慎的投資者。
這是因為這類命題不能同真，但可以同假（上述命題事實上也都是假的）。
但反對關係與下反對關係不同，兩者都不同於矛盾關係。具有下反對關係的命題可以同真，但不能同假。依據下反對關係，如果例13-16假，那麽例13-17真：
例13-16 有些學生是素食主義者。
例13-17 有些學生不是素食主義者。
這類直言命題不能同假，但能同真。
最後是稍微複雜的差等關係，因為真值的變化取決於是從全稱到特稱還是從特稱到全稱。邏輯上，a與同一素材的i命題是差等關係，是指：如果a命題為真，那麽i命題一定為真；如果i命題為假，那麽a命題一定為假。e與同一素材的o命題也具有類似關係，兩者是差等關係是指：如果e命題為真，那麽o命題一定為真；而且如果o命題為假，那麽e一定為假。兩種情況中，全稱命題稱為“上位式”，同質的特稱命題稱為“下位式”。
差等關係是以下命題之間的邏輯關係：
（1）a和i（a是上位式，i 是下位式）；
（2）e和o（e是上位式，o是下位式）。
在這一關係中：
（1）真往下傳遞（從上位式傳向下位式）；
（2）假往上傳遞（從下位式傳向上位式）。
讓我們像傳統邏輯學家那樣依據差等關係進行推理。假設例13-18為真，那麽例13-19一定為真。
例13-18 所有演奏長號的都是音樂家。
例13-19 有些演奏長號的是音樂家。
例13-18和例13-19表明，“真”往下傳遞。同時，因為“有些長號演奏者不是音樂家”為假，可以推出“所有長號演奏者都不是音樂家”為假──這表明“假”往上傳遞。但從例13-14這樣的假上位式不能推出一個假下位式，因為有些銀行家是謹慎的投資者是真的。
例13-14 所有銀行家都是謹慎的投資者。
從例13-17這個真下位式也不能推出一個真上位式。因為，所有學生都不是素食主義者是假的：
例13-17 有些學生不是素食主義者。
真值規則和傳統對當方陣 現在，總結傳統對當方陣中的所有關係，以及可以進行直接推理的規則，如下：
矛盾關係：具有矛盾關係的命題不能具有相同的真值。（如果一個為真，那麽另一個一定為假；反之亦然）
反對關係：具有反對關係的命題不能同真，但可以同假。
下反對關係：具有下反對關係的命題不能同假，但可以同真。
從上位式推導下位式的差等關係（即，從全稱命題推導同一素材的特稱命題）：
如果上位式真，那麽下位式一定為真；
如果上位式假，那麽下位式真值不定。
從下位式推導上位式的差等關係（即，從特稱命題推導同一素材的全稱命題）：
如果下位式真，那麽上位式真值不定；
如果下位式假，那麽上位式一定為假。
已知傳統對當方陣中的矛盾、反對、下反對以及差等關係，依據左邊列表中假定的命題真值，我們能夠推出右邊列表中命題的真值。
存在預設
盡管依據反對、下反對、差等關係進行的推理被傳統對當方陣斷定為有效，但我們進行這類推理的能力卻被全稱命題和特稱命題的一個有意義的差異削弱了：i和o有存在預設，a和e沒有。也就是說，i和o命題含蓄地預設了它們的主項所指謂的個體存在。因為“有的”在邏輯上等價於“至少有一個”，因此形如例13-20這類命題在邏輯上等價於例13-20a：
例13-20 有些學生是素食主義者。
例13-20a 有些學生不是素食主義者。
提請注意的是，“至少有一隻貓”等價於“貓存在”。類似地，形如例13-21和例13-21a這兩個相互等價的o命題也預設有些貓是存在的：
例13-21 有些貓不是貓科動物。
例13-21a 至少存在一隻不是貓科動物的貓。
另一方麵， a與e命題邏輯上等價於條件句：例13-22等價於例13-22a，而例13-23等價於例13-23a。
例13-22 所有貓都是貓科動物。
例13-22a 如果任何事物是一隻貓，那麽它就是貓科動物。
例13-23 沒有貓是貓科動物。
例13-23a 如果任何事物是一隻貓，那麽它就不是貓科動物。
以這種方式理解，一個全稱的直言命題就沒有存在預設，因為它等價於一個條件句，這種複合命題僅在前件為真、後件為假的情況下才為假。因此，當且僅當，一事物是貓但不是貓科動物，例13-22a才為假。而當且僅當，一事物是貓，而且是貓科動物時，例13-23a才為假。如果貓不存在，這些條件句的前件都為假，而整個條件句都是真的（無論後件是真，還是假）。
因此，反對關係推理就被削弱了：如此理解全稱命題之後，當他們的主項指謂空類（沒有指稱）時，具有反對關係的命題就為真。考察例13-24，它與例13-24a等價。
例13-24 所有獨角獸都是易受驚嚇的生物。
例13-24a 如果任何事物是獨角獸，那麽它就是易受驚嚇的生物。
因為獨角獸不存在，例13-24的前件為假，整個條件句為真。現在考察與它具有反對關係的另一個命題，例13-25與例13-25a等價：
例13-25 所有獨角獸都不是易受驚嚇的生物。
例13-25a 如果任何事物是獨角獸，那麽它就不是易受驚嚇的生物。
還是因為獨角獸不存在，例13-25a的前件為假，整個條件句為真。顯然例13-24和例13-25可以同時為真！這可以推出，除非我們假設真直言命題的主項非空，否則我們不可能推出與之反對的另一個命題為假。
那麽，具有下反對關係的命題又如何呢？這涉及了i和o命題，從現代邏輯的角度看，它們確實有存在預設。盡管依據傳統對當方陣，具有下反對關係的兩個命題不能同假，但從現代邏輯的角度看，它們可以同假。比較例13-26與例13-26a。
例13-26 有些獨角獸是易受驚嚇的生物。
例13-26等價於例13-26a。
例13-26a 獨角獸存在並且是易受驚嚇的生物。
這樣解釋之後，例13-26為假，因為沒有獨角獸。比較例13-27與例13-27a。
例13-27 有些獨角獸不是易受驚嚇的生物。
例13-27等價於例13-27a。
例13-27a 獨角獸存在並且它們不是易受驚嚇的生物。
因為沒有獨角獸，所以例13-27也是假的。因此，例13-26和例13-27同時為假。這可以推出結論：依據下反對關係不可能進行有效推理。
最後是差等關係。從上文可以看出，這個關係看起來也是非常可疑的。比如說，一個人怎麽可能從一個沒有存在預設的全稱命題推出一個具有存在預設的特稱命題呢？當然，如果它們的主項指謂的事物存在，例如長號演奏者、會計以及老虎，那麽從a到i以及從e到o的推理初看起來似乎沒有什麽問題。但涉及存在性成問題的事物時，差等關係推理可以導致謬誤，例如：
例13-28 1. 所有獨角獸不是易受驚嚇的生物。
2. 有些獨角獸不是易受驚嚇的生物。
因為例13-28中的結論與上述例13-26a等價，這個論證似乎已經預設了獨角獸存在！這一依據差等關係得出結論的方式失效了，因為它忽略了前提沒有存在預設而結論有存在預設的事實。
現代對當方陣
上文表明，需要限製依據傳統對當方陣進行的有效直言命題推理的範圍。正如圖13-9所示，現代方陣修改了傳統方陣，消除了反對、差等以及下反對，保留了有效的矛盾關係直接推理。矛盾關係在a和o，以及e與i之間成立，它們位於方陣對角線所標出的對立的角。
從如下現代方陣可以看出，命題與其矛盾命題的否定的兩點事實。第一，它們在邏輯上等價：如果位於一角的命題是真的，那麽其矛盾命題的否定一定為真；而且如果它是假的，那麽其矛盾命題的否定也一定為假。第二，它們互相推出：任何從一個命題到其矛盾命題的否定都是保值的，因此是有效的。
圖13-9 現代對當方陣
這是依據現代對當方陣，四類標準命題之中的一個命題與其矛盾命題的否定等價（互相推出）：
（1）a=非o
（2）e=非i
（3）i =非e
（4）o =非a
因此，已知（1），如果“所有橙子都是柑橘屬水果”為真，那麽“並非有的橙子不是柑橘屬水果”為真；反之亦然。但已知（4），如果“有些橙子不是柑橘屬水果”為真，那麽“所有橙子都是柑橘屬水果”一定為假，而“並非所有橙子都是柑橘屬水果”一定是真的。讀者可以嚐試練習其他的有效推理。底線是對所列命題，每一對都具有相同的真值：如果一個為真，另一個一定為真；如果一個為假，另一個一定為假。前者表明有效性，兩者結合就是邏輯等價。文恩圖與現代對當方陣是一致的。畢竟，隻有特稱命題才需要“x”說明主項指謂的類有元素（如果存在）。全稱命題從不要求指出有元素，隻需指出沒有即可（通過陰影）。
專欄13-3 邏輯等價式與有效性
邏輯等價
假設兩個命題等價，若一個為真，則另一個一定為真；而且，若一個為假，則另一個一定為假。這是因為它們的真值條件相同。因此，邏輯等價的命題具有相同真值：或者同真，或者同假。所以，如果可以替換的話，其中一個可以在不改變它們所出現的複合命題真值的前提下替換另一個。例如，一個命題“p”在邏輯上等價於“並非非p”。因此，如果其中一個出現在更為複雜的表達式中，而且這個表達式又不在引號之中，那麽我們就可以在保證整個表達式真值不變的前提下，用另一個替換它。
有效性
假設兩個命題邏輯等價，若其中一個為真，則另一個一定為真。這就滿足了“推出”或“有效性”的定義：邏輯等價的命題可以互相推出。任何由等價命題構成的論證都是有效的。 其他直接推理
現在，我們學習另外三種使用直言命題的直接推理：換位法，換質法以及換質位法。有時，換位和換質位是從全稱推特稱，但這類形式的有效性卻需要預設全稱前提中的主項非空，即不能指稱美人魚和圓的方這些空類。
換位法
換位法是通過交換“被換位命題”的主謂項位置，但不改變量和質，從而推出“換位命題”的方法。因此，e命題的換位如下。
例13-29 所有suv都不是跑車。
例13-29a 所有跑車都不是suv。
被換位命題的主謂項位置改變了，但其質和量保持不變，依然是全稱否定。例13-29到例13-29a是有效推理：如果例13-29為真，那麽例13-29a一定為真（反之亦然）。類似地，通過換位，交換被換位命題的主謂項位置之後，從一個i命題能夠導出另一個換了位的i命題。例如，例13-30的換位命題是例13-30a：
例13-30 有些共和黨人是記者。
例13-30a 有些記者是共和黨人。
如果例13-30真，那麽例13-30a一定為真，反之亦然。因此這個推理是有效的，兩個命題在邏輯上等價。
然而，對於a命題，一個直接換位的推理將是無效的。因為，從例13-31顯然不能推出例13-31a：
例13-31 所有豬都是哺乳動物。
例13-31a 所有哺乳動物都是豬。
但a命題可以通過“限製”換位，因為從例13-31可以推出例13-31b。
例13-31b 有些哺乳動物是豬。
限製換位中，被換位命題的量在換位命題中受到了限製：一個a命題的有效換位是i命題。其中，前者的主謂項位置進行了交換，全稱量詞“所有”替換為非全稱量詞“有的”。
最後注意，o命題沒有有效換位。如果試圖對真命題例13-32進行換位，那麽將會得到假命題例13-32a：
例13-32 有些珍貴的石頭不是翡翠。
例13-32a 有些翡翠不是珍貴的石頭。
這證明了例13-32到例13-32a是無效推理。對於任意o命題，換位得到的直接推理犯了非法換位，這與從一個a命題換位得到另一個a命題所犯的謬誤相同。總之，換位法的規則如表13-3所示。通過換位得到的等價式和非等價式如圖13-10所示。
圖13-10 通過換位得到的等價式和非等價式
換質法
一個直言命題的換質命題是改變它的質（即從肯定到否定，或從否定到肯定），並且在其謂項的前麵增加“非”得到的。通過換質演繹出的命題稱為“換質命題”，而演繹出命題的那個命題稱為“被換質命題”。換質推論適用於所有命題。因此，依據換質法從例13-33這個a命題可以推出例13-33a。
例13-33 所有鷹都是鳥。
例13-33a 沒有鷹是非鳥。
例13-34這個e命題換質可以產生例13-34a。
例13-34 所有手機都不是大象。
例13-34a 所有手機都不是非大象。
例13-35這個i命題的換質命題是例13-35a。
例13-35 有些加利福尼亞人是衝浪者。
例13-35a 有些加利福尼亞人不是非衝浪者。
例13-36這個o命題的換質命題是例13-36a。
例13-36 有些流行病不是災難性的。
例13-36a 有些流行病是非災難性的。
在上述推論中，被換質命題的謂項被其補概念所替換。例如，對於議員這個類來說，其補類是由所有非議員的事物構成的，包括市長、醫生、砌磚者、飛機、蝴蝶、行星、郵票、惰性氣體等。馬的補類是非馬，也是一個廣泛而豐富的類。疾病的補類是非疾病類，如此等等。指謂任何這個補類的項稱為補項。
與換位不同，四類直言命題都可以換質。對於下列四類命題，從被換質命題導出換質命題的推理都有效，如表13-4所示。通過換質得到的等價式，如圖13-11所示。
圖13-11 通過換質得到的等價式
換質位法
換質位法允許我們交換一個命題主謂項的位置，並且分別在其前麵添加“非”，但量和質保持不變，從而推出一個結論。因此，例13-37進行換質位可以得到例13-37a。
例13-37 所有羊角麵包都是糕點。
例13-37a 所有非糕點都是非羊角麵包。
使用換質位，“所有s都是p”這一a命題在邏輯上等價於“所有非p都是非s”這一a命題。兩個命題邏輯等價就是具有相同的真值：如果例13-37為真，那麽例13-37a就為真。而且如果例13-37為假，那麽例13-37a就為假。正如專欄13-3所提到的，如果兩個命題在邏輯上等價，就可以從一個推出另一個：任何這種推論都是有效的。要想形象地表示例13-37和例13-37a之間的關係，可以參看圖13-12中的文恩圖（可以把圖中的s解釋為“羊角麵包”，p解釋為“糕點”）。
圖13-12 通過換質位得到的a型等價式和e型非等價式
對i進行換質位，得到的還是量與質都相同的i命題，後者的主謂項位置與前者不同，而且前麵都有“非”。例13-38的換質位命題是例13-38a：
例13-38 有些羊角麵包是糕點。
例13-38a 有些非糕點都是非羊角麵包。
但從圖13-12中的文恩圖可以看出，例13-38和例13-38a不等價。因此，任何依據換質位從例13-38到例13-38a的推論都不是有效的，犯了非法換質位謬誤。
e命題也存在一個非法換質位謬誤。但通過限製被換質位命題的量可以避免這個謬誤。也就是說，e的有效換質位命題是o，其主謂項的位置已經被交換，而且在兩個項前麵都添加了“非”。因此，對例13-39進行正確的換質位（參見圖13-13），限製其量、質保持不變，例13-39a是真的。
例13-39 沒有美洲豹是爬行動物。
例13-39a 有些非爬行動物不是非美洲豹。
圖13-13 通過換質位得到的i型不等價式和o型等價式
如果從例13-39無限製地換質位推出例13-40，那麽這個推理就是無效的。
例13-40 所有美洲豹都不是爬行動物；因此，所有非爬行動物都是非美洲豹。
o命題的換質位可以產生一個等價的o命題；因此總是有效的。因此，依據換質位從例13-41可以推出例13-42。
例13-41 有些田徑運動員不是跑步的。
例13-42 有些非跑步運動員不是非田徑運動員。
本節內容小結，如表13-5所示。