7、什麽是素數?數學家為什麽對它們感興趣?
你知道嗎--現代科學中的100個問題 作者：艾薩克·阿西莫夫 投票推薦 加入書簽 留言反饋
素數是這樣的整數，它除了能表示為它自己和1的乘積以外，不能表示為任何其它兩個整數的乘積。例如，15＝3x5，所以15不是素數；又如，12＝6x2＝4x3，所以12也不是素數。另一方麵，13除了等於13x1以外，不能表示為其它任何兩個整數的乘積，所以13是一個素數。
有的數，如果單憑印象去捉摸，是無法確定它到底是不是素數的。有些數則可以馬上說出它不是素數。一個數，不管它有多大，隻要它的個位數是2、4、5、6、8或0，就不可能是素數。此外，一個數的各位數字之和要是可以被3整除的話，它也不可能是素數。但如果它的個位數是1、3、7或9，而且它的各位數字之和不能被3整除，那麽，它就可能是素數（但也可能不是素數）。沒有任何現成的公式可以告訴你一個數到底是不是素數。你隻能試試看能不能將這個數表示為兩個比它小的數的乘積。
找素數的一種方法是從2開始用“是則留下，不是則去掉”的方法把所有的數列出來（一直列到你不想再往下列為止，比方說，一直列到10000）。第一個數是2，它是一個素數，所以應當把它留下來，然後繼續往下數，每隔一個數刪去一個數，這樣就能把所有能被2整除、因而不是素數的數都去掉。在留下的最小的數當中，排在2後麵的是3，這是第二個素數，因此應該把它留下，然後從它開始往後數，每隔兩個數刪去一個，這樣就能把所有能被3整除的數全都去掉。下一個未去掉的數是5，然後往後每隔4個數刪去一個，以除去所有能被5整除的數。再下一個數是7，往後每隔6個數刪去一個；再下一個數是11，往後每隔10個數刪一個；再下一個是13，往後每隔12個數刪一個。……就這樣依法做下去。
你也許會認為，照這樣刪下去，隨著刪去的數越來越多，最後將會出現這樣的情況；某一個數後麵的數會統統被刪去因此在某一個最大的素數後麵，再也不會有素數了。但是實際上，這樣的情況是不會出現的。不管你取的數是多大，百萬也好，萬萬也好，總還會有沒有被刪去的、比它大的素數。
事實上，早在公元前300年，希臘數學家歐幾裏得就已證明過，不論你取的數是多大，肯定還會有比它大的素數，假設你取出前6個素數，並把它們乘在一起：2x3x5x7x11x13＝30030，然後再加上1，得30031。這個數不能被2、3、5、7、11、13整除，因為除的結果，每次都會餘1。如果30031除了自己以外不能被任何數整除，它就是素數。如果能被其它數整除，那麽30031所分解成的幾個數，一定都大於13。事實上，30031＝59x509。
對於前一百個、前一億個或前任意多個素數，都可以這樣做。如果算出了它們的乘積後再加上1，那麽，所得的數或者是一個素數，或者是比所列出的素數還要大的幾個素數的乘積。不論所取的數有多大，總有比它大的素數，因此，素數的數目是無限的。
隨著數的增大，我們會一次又一次地遇到兩個都是素數的相鄰奇數對，如5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；等等。就數學家所能及的數來說，他們總是能找到這樣的素數對。這樣的素數對到底是不是有無限個呢？誰也不知道。數學家認為是無限的，但他們從來沒能證明它。這就是數學家為什麽對素數感興趣的原因。素數為數學家提供了一些看起來很容易、但事實卻非常難以解決的問題，他們目前還沒能對付這個挑戰哩。
這個問題到底有什麽用處呢？它除了似乎可以增添一些趣味以外，什麽用處也沒有。
碧聲注：一點用處也沒有嗎？……聽說在密碼方麵很有用哩。
有的數，如果單憑印象去捉摸，是無法確定它到底是不是素數的。有些數則可以馬上說出它不是素數。一個數，不管它有多大，隻要它的個位數是2、4、5、6、8或0，就不可能是素數。此外，一個數的各位數字之和要是可以被3整除的話，它也不可能是素數。但如果它的個位數是1、3、7或9，而且它的各位數字之和不能被3整除，那麽，它就可能是素數（但也可能不是素數）。沒有任何現成的公式可以告訴你一個數到底是不是素數。你隻能試試看能不能將這個數表示為兩個比它小的數的乘積。
找素數的一種方法是從2開始用“是則留下，不是則去掉”的方法把所有的數列出來（一直列到你不想再往下列為止，比方說，一直列到10000）。第一個數是2，它是一個素數，所以應當把它留下來，然後繼續往下數，每隔一個數刪去一個數，這樣就能把所有能被2整除、因而不是素數的數都去掉。在留下的最小的數當中，排在2後麵的是3，這是第二個素數，因此應該把它留下，然後從它開始往後數，每隔兩個數刪去一個，這樣就能把所有能被3整除的數全都去掉。下一個未去掉的數是5，然後往後每隔4個數刪去一個，以除去所有能被5整除的數。再下一個數是7，往後每隔6個數刪去一個；再下一個數是11，往後每隔10個數刪一個；再下一個是13，往後每隔12個數刪一個。……就這樣依法做下去。
你也許會認為，照這樣刪下去，隨著刪去的數越來越多，最後將會出現這樣的情況；某一個數後麵的數會統統被刪去因此在某一個最大的素數後麵，再也不會有素數了。但是實際上，這樣的情況是不會出現的。不管你取的數是多大，百萬也好，萬萬也好，總還會有沒有被刪去的、比它大的素數。
事實上，早在公元前300年，希臘數學家歐幾裏得就已證明過，不論你取的數是多大，肯定還會有比它大的素數，假設你取出前6個素數，並把它們乘在一起：2x3x5x7x11x13＝30030，然後再加上1，得30031。這個數不能被2、3、5、7、11、13整除，因為除的結果，每次都會餘1。如果30031除了自己以外不能被任何數整除，它就是素數。如果能被其它數整除，那麽30031所分解成的幾個數，一定都大於13。事實上，30031＝59x509。
對於前一百個、前一億個或前任意多個素數，都可以這樣做。如果算出了它們的乘積後再加上1，那麽，所得的數或者是一個素數，或者是比所列出的素數還要大的幾個素數的乘積。不論所取的數有多大，總有比它大的素數，因此，素數的數目是無限的。
隨著數的增大，我們會一次又一次地遇到兩個都是素數的相鄰奇數對，如5，7；11，13；17，19；29，31；41，43；等等。就數學家所能及的數來說，他們總是能找到這樣的素數對。這樣的素數對到底是不是有無限個呢？誰也不知道。數學家認為是無限的，但他們從來沒能證明它。這就是數學家為什麽對素數感興趣的原因。素數為數學家提供了一些看起來很容易、但事實卻非常難以解決的問題，他們目前還沒能對付這個挑戰哩。
這個問題到底有什麽用處呢？它除了似乎可以增添一些趣味以外，什麽用處也沒有。
碧聲注：一點用處也沒有嗎？……聽說在密碼方麵很有用哩。