沈衝字景綽，吳興武康人。祖父沈宣，曾任新安太守。父親沈懷文，曾任廣陵太守。沈衝初為官任衛尉五官，調任揚州主簿。宋朝大明年間(457～464)，沈懷文有文名，沈衝也涉獵文義。調任西陽王撫軍法曹參軍，不久舉為秀才，還為撫軍正佐，兼記室。及到懷文因罪被關押，沈衝兄弟求情，情狀哀懇可憐，見到的人都憐憫他們。柳元景要救懷文，對帝說：“沈懷文三個兒子痛苦得目不忍睹，願陛下從速判定他的罪責。”帝竟殺了他。元景為之歎息。沈衝兄弟因此知名。
泰始初年，沈衝因母親年邁家裏貧窮，向明帝上表求為永興令。又調為巴陵王主簿，尚書殿中郎。元徽年間(473～476)，他出任晉安王安西記室參軍，不久任司徒主簿、山陰令，調為司徒錄事參軍。世祖為政江州，沈衝任征虜長史、尋陽太守，甚被重用。世祖還都，命沈衝管理府、州事。又調為領軍長史。建元初年，調任驃騎諮議參軍，領錄事，未等到任，又調為黃門郎，繼而為太子中庶子。世祖在東宮時，像舊時一樣禮待他。及即位，調沈衝任禦史中丞。侍中、冠軍廬陵王蕭子卿為政郢州，以沈衝為長史、輔國將軍、江夏內史，行府、州事。後隨府調任安西長史、南郡內史，管理荊州府事，將軍如故。永明四年(486)，被征為五兵尚書。
沈衝與其兄沈淡、沈淵名聲好壞互異，世人稱之為“腰鼓兄弟”。沈淡、沈淵都任過禦史中丞，兄弟三人，都是司直，是晉、宋兩朝都沒有過的。中丞是考察裁奪的官職，被裁處的人多結下仇怨。沈淵永明中彈劾吳興太守袁彖，建武年間(494～497)，袁彖的堂弟袁昂做中丞，到任幾天，就彈奏沈淵之子沈繢父親在世就坐掛白幔的車子，免官禁錮。沈衝母親孔氏在時，鄰家失火，懷疑是有人放火，大喊道：“我三個兒子都作過禦史中丞，豈能有人和他們友善！”
世祖正要提拔沈衝，沈衝西下到南州而亡故。終年五十一歲。皇上甚為惋惜。靈柩還京，詔書說：“沈衝喪柩到此，深為悲痛。因其亡在南蕃，更加憫悼。”皇上親臨沈衝葬禮，下詔說：“沈衝貞誠能幹，作風正派，他的忠誠著於蕃朝，業績彰明內外。不幸早逝，朕深為哀悼。”追贈太常，諡號“恭子”。
泰始初年，沈衝因母親年邁家裏貧窮，向明帝上表求為永興令。又調為巴陵王主簿，尚書殿中郎。元徽年間(473～476)，他出任晉安王安西記室參軍，不久任司徒主簿、山陰令，調為司徒錄事參軍。世祖為政江州，沈衝任征虜長史、尋陽太守，甚被重用。世祖還都，命沈衝管理府、州事。又調為領軍長史。建元初年，調任驃騎諮議參軍，領錄事，未等到任，又調為黃門郎，繼而為太子中庶子。世祖在東宮時，像舊時一樣禮待他。及即位，調沈衝任禦史中丞。侍中、冠軍廬陵王蕭子卿為政郢州，以沈衝為長史、輔國將軍、江夏內史，行府、州事。後隨府調任安西長史、南郡內史，管理荊州府事，將軍如故。永明四年(486)，被征為五兵尚書。
沈衝與其兄沈淡、沈淵名聲好壞互異，世人稱之為“腰鼓兄弟”。沈淡、沈淵都任過禦史中丞，兄弟三人，都是司直，是晉、宋兩朝都沒有過的。中丞是考察裁奪的官職，被裁處的人多結下仇怨。沈淵永明中彈劾吳興太守袁彖，建武年間(494～497)，袁彖的堂弟袁昂做中丞，到任幾天，就彈奏沈淵之子沈繢父親在世就坐掛白幔的車子，免官禁錮。沈衝母親孔氏在時，鄰家失火，懷疑是有人放火，大喊道：“我三個兒子都作過禦史中丞，豈能有人和他們友善！”
世祖正要提拔沈衝，沈衝西下到南州而亡故。終年五十一歲。皇上甚為惋惜。靈柩還京，詔書說：“沈衝喪柩到此，深為悲痛。因其亡在南蕃，更加憫悼。”皇上親臨沈衝葬禮，下詔說：“沈衝貞誠能幹，作風正派，他的忠誠著於蕃朝，業績彰明內外。不幸早逝，朕深為哀悼。”追贈太常，諡號“恭子”。